格拉姆矩阵

在线性代数中，内积空间中一族向量 $v_{1},\dots ,v_{n}$ 的格拉姆矩阵（Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由 $G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle$ 给出。

一个重要的应用是计算線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。

例子[编辑]

最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L² 空间中函数，比如闭区间 [a, b] 上的连续函数（是 L²（[a, b]）的子集）。

给定区间 $[t_{0},t_{f}]$ 上的实数值函数 $\{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}$ ，格拉姆矩阵 $G=[G_{ij}]$ ，由函数的标准内积给出：

G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .

给定一个实矩阵 A，矩阵 A^TA 是 A 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 AA^T 是 A 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式 B，我们可对一组向量 $v_{1},\dots ,v_{n}$ 定义一个格拉姆矩阵 G 为 $G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,$ 。如果双线性形式 B 对称则该格拉姆矩阵对称。

格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是单位矩阵。

这个命题无穷维类比是Mercer定理（英语：Mercer's theorem））。

在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 P^TGP。

格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩阵的行列式：

G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}.

在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵非奇异）。