环 (代数)

环（Ring）是由任意集合 R 和定义于其上的两种二元运算（记作「 ${\textstyle +}$ 」和「 ${\textstyle \cdot }$ 」，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的實數加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。

环的定義类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「⋅」（注意我们这里所说的「+」與「⋅」一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

定义[编辑]

$R$ 為集合， $+:R\times R\to R$ 和 $\cdot :R\times R\to R$ 為定義於其上的二元運算（一種二變數函數）。以下依照二元運算的慣例，將運算結果 ${\textstyle +(a,\,b)}$ 和 ${\textstyle \cdot (a,\,b)}$ 分別簡記為 $a+b$ 和 ${\textstyle a\cdot b}$ 。

$(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 被稱為環，若它滿足：

$(R\,,+)$ $(R\,,+)$ 為交換群，即：
- 結合律：對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有 $(a+b)+c=a+(b+c)$
- 單位元：存在 $i\in R$ ，對所有的 $r\in R$ 有 $i+r=r+i=r$ （可由上面的性質證明這樣的 $i$ 是唯一的，這樣的 $i$ 稱為加法單位元）
- 反元素：對所有的 $r\in R$ 存在 $r^{\prime }\in R$ 使 $r+r^{\prime }=r^{\prime }+r=0$ （可以由上面的性質證明這樣的 $r^{\prime }$ 是唯一的，通常簡記為 $r^{-1}$ 並稱為 $r$ 的加法反元素)
- 交換律：對所有的 $a,\,b\in R$ 有 $a+b=b+a$
${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 為半群，即：
- 結合律：對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
乘法對于加法满足分配律，即對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ $a,\,b,\,c\in R$ 有：
- $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
- $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

其中 $+$ 常會被暱稱為加法；類似的 $\cdot$ 會被暱稱為乘法，因為取 $R=\mathbb {R}$ （實數系）， $+$ 為普通的實數加法且 $\cdot$ 為普通的實數乘法的話， $(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 顯然為環。而此時加法單位元顯然為實數 $0$ ，所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元 $i$ 簡寫為 $0$ 。

所以慣例上仿造實數乘法把 $a\cdot b$ 簡寫為 $ab$ ；而且因為實數乘法優先於實數加法，所以也會規定 $a+bc$ 是 $a+(b\cdot c)$ 的簡寫。此外還會仿造實數減法，會把 $a+b^{-1}$ 簡寫為 $a-b$ 。

定義的分歧[编辑]

在1960年代以前，多數抽象代数的書籍並不將乘法單位元列入環的定義；有些不要求乘法單位元的作者，會將包含乘法單位元的環稱為「單位環」；反之，有些要求乘法單位元的作者，會將不含乘法單位元的環稱為「偽環」。

基本性质[编辑]

$(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 為環，則對所有 $a,\,b\in R$ 有：

I. $a0=0a=0$

證明：

$0=0+0$ （單位元）
$a0=a(0+0)$ （式1等號兩邊於左側同乘 $a$ ）
$a(0+0)=a0+a0$ （分配律）
$a0+a0=a0$ （式2, 式3）
$a0+a0+{(a0)}^{-1}=a0+{(a0)}^{-1}$ （式4等號兩邊於右側加 ${(a0)}^{-1}$ ）
$a0=0$ （以反元素化簡式5）

可調換 $a$ 和 $0$ 的順序，仿上證明 $0a=0$ 。 $\Box$

II. $a^{-1}b=ab^{-1}=(ab)^{-1}$

證明：

$a^{-1}b+ab=ab+a^{-1}b=(a+a^{-1})b=0b$ （加法交換律、分配律、加法逆元素）
$0b=0=a^{-1}b+ab$ （上面的性質I）

故 $a^{-1}b$ 的確是 $ab$ 的加法反元素，仿上可證明 $ab^{-1}$ 也是 $ab$ 的加法反元素。 $\Box$

环的相关概念[编辑]

特殊的环[编辑]

幺环: 若环 $R$ 中， ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 构成幺半群，即 ${\textstyle \exists 1\in R}$ ，使得 ${\textstyle \forall a\in R}$ ，有 $1\cdot a=a\cdot 1=a$ ，则称 $R$ 为幺环。此时幺半群 ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 的幺元 $1$ ，亦称为环 $R$ 的幺元。

交换环: 若环 $R$ 中， ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 还满足交换律，从而构成交换半群，即 ${\textstyle \forall a,\,b\in R}$ ，有 $ab=ba$ ，则称 $R$ 为交换环。

无零因子环: 若 $R$ 中没有非 $0$ 的零因子，则称 $R$ 为无零因子环。

此定义等价于以下任何一条：
- $R\backslash \{0\}$ 对乘法形成半群；
- $R\backslash \{0\}$ 对乘法封闭；
- $R$ 中非 $0$ 元素的乘积非 $0$ ；

整环: 无零因子的交换幺环称为整环。

例：整数环，多项式环

唯一分解环: 若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环: 若环 $R$ 是幺环，且 $R\backslash \{0\}$ 对 $R$ 上的乘法形成一个群，即 ${\textstyle \forall a\in R\backslash \{0\}}$ ， $\exists a^{-1}\in R\backslash \{0\}$ ，使得 $a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1$ 。则称 $R$ 为除环。

除环不一定是交换环。反例：四元数环。
交换的除环是體。

主理想环: 每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环: 若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

質环

例子[编辑]

集环：非空集的集合 $R$ $R$ 构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
- $R$ 对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
- $R$ 对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
- $R$ 对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

整数环是一个典型的交换且含单位环。
有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想[编辑]

考虑环 $(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ ，依环的定义知 $(R\,,+)$ 是阿贝尔群。集合 $I\subseteq R$ ，考虑以下条件：

$(I\,,+)$ 构成 $(R\,,+)$ 的子群。
$\forall i\in I\,,r\in R$ ，有 $i\cdot r\in I$ 。
$\forall i\in I\,,r\in R$ ，有 $r\cdot i\in I$ 。

若 $I$ 满足条件1、2则称 $I$ 是 $R$ 的右理想；若 $I$ 满足条件1、3则称 $I$ 是 $R$ 的左理想；若 $I$ 满足条件1、2、3，即 $I$ 既是 $R$ 的右理想，也是 $R$ 的左理想，则称 $I$ 为 $R$ 的双边理想，简称理想。

示例[编辑]

整数环的理想：整数环 $\mathbb {Z}$ 只有形如 $\{n\mathbb {Z} \}$ 的理想。

基本性质[编辑]

在环中，（左／右／双边）理想的和与交仍然是（左／右／双边）理想。
在除环中，（左／右）理想只有平凡（左／右）理想。
对于环R的两个理想 $A$ $A$ 、 $B$ $B$ ，记 $AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$ $AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$ 。则由定义易知：
1. 若 $A$ 是 $R$ 的左理想，则 $AB$ 是 $R$ 的左理想；
2. 若 $B$ 是 $R$ 的右理想，则 $AB$ 是 $R$ 的右理想；
3. 若 $A$ 是 $R$ 的左理想， $B$ 是 $R$ 的右理想，则 $AB$ 是 $R$ 的双边理想。