孪生素数猜想

孪生素数猜想（英語：Twin prime conjecture）是数论中的一個未解決问题。这个猜想正式由大卫·希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：

存在无穷多个素数$p$，使得$p+2$是素数。

其中，素数对$(p,p+2)$称为孪生素数。

在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数$k$，存在无穷多个素数对$(p,p+2k)$。$k=1$的情况就是孪生素数猜想。

哈代-李特尔伍德猜测

1921年，英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代和約翰·恩瑟·李特爾伍德提出了以下的猜想：设 $\pi _{2}(N)$ 为前N个自然数里孪生素数的个数。那么

$\pi _{2}(N)\approx \int _{2}^{N}{\frac {\mathrm {d} t}{(\ln t)^{2}}}\approx 2C_{twin}\ {\frac {N}{\ln ^{2}N}}$

其中的常数$C_{twin}$是所谓的孪生素数常数：

${\begin{aligned}C_{twin}&=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{10^{2}}}\right)\cdots \ =\prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\\&=0.6601618158468695739278121\ldots \end{aligned}}$

其中的p表示素数。

最新进展

2013年5月14日，《自然》杂志报道，数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差都小于7000万，可以用數式表示為

$\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<7\times 10^{7}$

此處「$p_{n}$」是第n個質數，「$p_{n+1}-p_{n}$」是質數間隙。

他的工作是對Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım的結果的重要改進。張益唐的论文已被《数学年刊》（Annals of Mathematics）於2013年5月21日接受。陶哲軒隨後開始了一個Polymath計畫，由網上志願者合作降低張益唐論文中的上限。這個計劃也使用了詹姆斯·梅納德的另一個方法。截至2014年4月，即張益唐提交證明之後一年，上限已降至246。

2026年8月28日，匹兹堡大学的Hanxin Zhang公开发布了一项由GPT-5.6 Sol协助发现的证明，将有界素数间隔上限从Polymath8项目保持十余年的246降至240。这一结果早于随后公开的同一上限结果，是自2014年以来首次公开突破246的工作。

8月31日，UIUC数学系博士后Julia Stadlmann在arXiv发布预印本，独立得到同样的240上限。她在引言中提到，文中的方法本可以推出更好的上限，不過因為「有限資源和有限時間」，選擇展示較溫和的改進版本。9月3日Axiom宣稱利用Stadlmann的預印本的結果，將上限降至212。數小時後，OpenAI的統計學家蘇煒杰也宣稱，其公司團隊用GPT-6 Astra將上限降至186，並且用Lean形式化驗證，未用Stadlmann的最新結果。目前（2026年9月）以上四項結果尚未經過同行評審。

參考資料

腳注

引用

参见

• 素数

外部链接

• Top-20 Twin Primes（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Chris Caldwell's Prime Pages.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant
• "Official press release"（页面存档备份，存于互联网档案馆） of 58711-digit twin prime record.
• 埃里克·韦斯坦因. Twin Primes. MathWorld. 
• The 20 000 first twin primes（页面存档备份，存于互联网档案馆）