關於組合數學的計數原理,請見「
乘法原理」。
乘積法則(英語:Product rule),也稱積定則、萊布尼茲法則,是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計算法則。
若已知兩個可導函數
及其導數
,則它們的積
的導數為:
![{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f2ca6050d6691d537f9fafeea1a5f79e9d7cee)
這個法則可衍生出積分的分部積分法。
萊布尼茲的發現[編輯]
人們將這個法則的發現歸功於萊布尼茲,以下是他的論述:設u(x)和v(x)為x的兩個可導函數。那麼,uv的微分是:
![{\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0bff45c2580a7741d1a7349e8127ac9d4453a75)
由於du·dv的可忽略性,因此有:
![{\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912fbf8ae92adfee560c4f1e0f47a35f7e9097e0)
兩邊除以dx,便得:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ec8d09d133607a94a34175bef04b9800d56e3f)
若用拉格朗日符號來表達,則等式記為
![{\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37caacc12d30bfa2ee28797391fcdf390c2d7eca)
- 假設我們要求出f(x) = x2 sin(x)的導數。利用乘積法則,可得f'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x)(這是因為x2的導數是2x,sin(x)的導數是cos(x))。
- 乘積法則的一個特例,是「常數因子法則」,也就是:如果c是實數,f(x)是可微函數,那麼cf(x)也是可微的,其導數為(c × f)'(x) = c × f '(x)。
- 乘積法則可以用來推出分部積分法和除法定則。
證明一:利用面積[編輯]
假設
![{\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba7a64e889f510b4f64fe7a5d57d5ac4a015c61)
且f和g在x點可導。那麼:
![{\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a007cacf294eb53ea6b81b7d9a9aa471691185e4)
現在,以下的差
![{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894c439968a9a3b0696b27832d280d2548764704)
是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。
這個區域可以分割為兩個矩形,它們面積的和為:
![{\displaystyle f(w){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1bce94286b6d52239c5aeb92d67467e4edbe572)
因此,(1)的表達式等於:
![{\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(w)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7beb3d953496a3816e7a93e722b968501ede2920)
如果(5)式中的四個極限都存在,則(4)的表達式等於:
![{\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a444b5abafa801c3c2ed5d18fa3cbb2df28e4aad)
現在:
![{\displaystyle \lim _{w\to x}f(w)=f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f16cce112fbf7ed90ddbc93ffdf7bccfbc854d)
因為當w → x時,f(x)不變;
![{\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d416cc9a40bca4ddd13331e775bf8aefe654b7)
因為g在x點可導;
![{\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9627e5d0d24e5155029eaa343c0a41e83a95233)
因為f在x點可導;以及
![{\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c7597a7402682c901a82330e99e916ece79476)
因為g在x點連續(可導的函數一定連續)。
現在可以得出結論,(5)的表達式等於:
![{\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cde29683a82a0a6fd76d9a68862eacecc5bf13a)
證明二:使用對數[編輯]
設f = uv,並假設u和v是正數。那麼:
![{\displaystyle \ln f=\ln u+\ln v.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fbe99f2f5391ea826763c872c708a34d00861c)
兩邊求導,得:
![{\displaystyle {1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cf6b16ba8f1ac39cd6b710715dd5e8b63eb163)
把等式的左邊乘以f,右邊乘以uv,即得:
![{\displaystyle {d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f4c9636225bb5a6fff1548378f3c2e259f3411)
證明三:使用導數的定義[編輯]
設
且f和g在x點可導。那麼:
![{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29829094c25c2972df0a1fcd2ddf06aef799499f)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c7631440055bd6a8a28925affb98aa2be669ed)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd69212b8bcb4a6ea867e0d0d84741862b4dbc68)
.
- 若有
個函數
,則:
![{\displaystyle \left({\prod _{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime }=\sum _{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot \prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f_{j}}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa00314935a68547e79c67d71c9aa8b5491db69)
- (萊布尼茲法則)若
均為可導
次的函數,則
的
次導數為:
![{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86881c1575dac0bde417feb80ae59283ffedc9ca)
其中
是二項式係數。
乘積法則的一個應用是證明以下公式:
![{\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d7fe05b4d7897238034edb70685697c508c5e4)
其中n是一個正整數(該公式即使當n不是正整數時也是成立的,但證明需要用到其它方法)。我們用數學歸納法來證明這個公式。如果n = 1,
假設公式對於某個特定的k成立,那麼對於k + 1,我們有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8acbb0c922e6cc949563cd90912f76e0fe0d41)
因此公式對於k + 1也成立。