16阶的沃尔什矩阵与一个向量相乘
自然序的阿达玛矩阵排列成单调变化的阿达玛矩阵。自然序矩阵中每行符号变化的次数为(0、15、7、8、3、12、4、11、1、14、6、9、2、13、5、10),但是在单调顺序矩阵中,符号变化的次数是单调的
沃尔什矩阵出现在损坏的TIFF图像中
沃尔什矩阵(英語:Walsh matrix)是一个维度为
的方阵,其中n为自然数。该矩阵由-1和1组成,其所有的行与列都两两正交,即点积为0。这一概念由美国数学家约瑟夫·L·沃尔什于1923年提出,故而得名。[1]在沃尔什矩阵中,每一行都和一个沃尔什函数相对应。
沃尔什矩阵可视为阿达马矩阵的一个特例,自然有序的阿达马矩阵是由递归公式定义的,序列有序的阿达马矩阵是通过重新排列行来形成的,这样一行中的符号变化数就是递增的。[1]
沃尔什矩阵用于计算沃尔什变换,在信号处理操作中的有实际应用。
维度为
(其中
)的阿达马矩阵可由递推的方式进行定义:
![{\displaystyle {\begin{aligned}H\left(2^{1}\right)&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\\H\left(2^{2}\right)&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da599cb5c04965aac8c81489509bab866d29cd6)
一般而言
![{\displaystyle H\left(2^{k}\right)={\begin{bmatrix}H\left(2^{k-1}\right)&H\left(2^{k-1}\right)\\H\left(2^{k-1}\right)&-H\left(2^{k-1}\right)\end{bmatrix}}=H(2)\otimes H\left(2^{k-1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e5102b880b693b01fcb6929985006ad7e2244)
其中
且
,⊗代表克罗内克积。
根据符号变化的次数对所有的行进行重新排列。例如:
![{\displaystyle H(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb67a4d557226b961e7bcf35b82c17b7bad236d8)
每行分别有0、3、1、2次符号变化,因此,我们对这些行进行重排:
![{\displaystyle W(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d1b3dc4d3b23dfa73150f9a6f7adb2c2f211fc)
这样,每行都有0、1、2、3次符号变化。
沃尔什矩阵的替代形式[编辑]
顺序排序[编辑]
沃尔什矩阵的行顺序可以通过阿达马矩阵首先经过位序顛倒排列,然后经过格雷码排列得到:[2]
![{\displaystyle W(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8182bd22e3417054a4eb3c210af7f80edc5099)
其中每行分别有0、1、2、3、4、5、6、7次符号改变。
参考文献[编辑]