瑞利商

在数学中，瑞利商（英語：Rayleigh quotient）定义为：

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.$$

式中，$M$为复埃尔米特矩阵，$x$为非零向量。对实矩阵和向量，对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为对称矩阵，对向量的共轭转置退化为转置。

$R(M,cx)=R(M,x)$对所有非零标量$c$成立。

埃尔米特矩阵（或实对称矩阵）只具有实特征值且可对角化，由此，对于给定矩阵，其瑞利商达到最小值λ（$M$的最小特征值）当$x$为$v_{\min }$（最小特征值对应的特征向量）；类似的：$R(M,x)\leq \lambda _{\max }$，$R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }$。

瑞利商使用最小最大定理（min-max theorem）获得所有特征值的精确值。它还用于特征值算法（如瑞利商迭代），从特征向量近似值中获得特征值近似值。

在量子力学中，瑞利商给出了状态为$x$的系统中算子$M$观测值的期望值。

埃尔米特矩阵M的界

对于任意向量$x$，其瑞利商满足$R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]$，其中$\lambda _{\min },\lambda _{\max }$分别代表矩阵$M$的最小特征值和最大特征值。观察定义可知，矩阵$M$的瑞利商等价于其特征值的加权和：

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

其中$(\lambda _{i},v_{i})$是第$i$个归一化后的特征值-特征向量对，$y_{i}=v_{i}^{*}x$是$x$在特征基中的第$i$个坐标。可以验证，当$x$为矩阵$M$最小（最大）特征值对应的特征向量$v_{\min }$（$v_{\max }$）时，$R(M,x)$取值达到其下（上）界。