(a)
![{\displaystyle A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2)
對最初100個質數的值
(b)
![{\displaystyle A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2)
對最初200個質數的值
(c)
![{\displaystyle A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2)
對最初500個質數的值
安德里卡猜想對最初(a)100個、(b)200個和(c)500個質數的圖像化證明。猜想的內容指稱,
![{\displaystyle A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2)
總小於一。
安德里卡猜想(Andrica's conjecture)是關於質數間的間隙的猜想[1],以罗马尼亚数学家多林·安德里卡的名字命名。
該猜想認為,對於任意的
,下述不等式成立:
![{\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e214614c0c84847d35ab0891ea9bdd77c1c70d9c)
其中
是第
個質數。若
是第
個質數間隙,那麼安德里卡猜想可表述如下:
![{\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50afadd7387e6947694b423b394e3e17e64f650)
實證證據[编辑]
伊姆兰·戈里(Imran Ghory)用了大質數間隙的資料,證實了該猜想對大到
的
都成立。[2]利用最大質數間隙(maximal gap)和質數間隙不等式,可將此結果推廣到大到
的
之上。
離散方城
呈遞減,其中
的「高水位」標記,出現在
之處,其中
,而對於最初的
個質數而言,沒有比這更大的值。由於
該方程對
呈現非病態遞減之故,因此若要在
不斷變大的情況下使得這個差變大,一個不斷增長的質數間隙是必要的。故該猜想非常可能是正確的,但目前還沒有證明。
廣義安德里卡猜想對最初100個質數的x的值,並標出x的最小可能解
的推測位置。
安德里卡猜想的推廣會論及以下等式:
![{\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d581f722bd514d1881bbbb3185d50ffa5eaccf)
其中
是第
個質數,而x是任意正實數。
易證x的最大可能解出現於
處,在此處,
;而有猜想認為,x的最小可能解出現於
處,在此處,
。(OEIS數列A038458)
該猜想也可以不等式表述,因此廣義安德里卡猜想可表述如下:
- 對於
而言,![{\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613c39b1ca9d7e86bad84ab4866e86353742a7dd)
參考和註解[编辑]
- ^ Andrica, D. Note on a conjecture in prime number theory. Studia Univ. Babes–Bolyai Math. 1986, 31 (4): 44–48. ISSN 0252-1938. Zbl 0623.10030.
- ^ Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13.
外部連結[编辑]