安德里卡猜想

(a) $A_{n}$对最初100个质数的值

(b) $A_{n}$对最初200个质数的值

(c) $A_{n}$对最初500个质数的值

安德里卡猜想对最初(a)100个、(b)200个和(c)500个质数的图像化证明。猜想的内容指称，$A_{n}$总小于一。

安德里卡猜想（Andrica's conjecture）是关于质数间的间隙的猜想，以罗马尼亚数学家多林·安德里卡的名字命名。

该猜想认为，对于任意的$n$，下述不等式成立：

${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1$

其中$p_{n}$是第$n$个质数。若$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$是第$n$个质数间隙，那么安德里卡猜想可表述如下：

$g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1$

实证证据

伊姆兰·戈里（Imran Ghory）用了大质数间隙的资料，证实了该猜想对大到$1.3002\times 10^{16}$的$n$都成立。利用最大质数间隙（maximal gap）和质数间隙不等式，可将此结果推广到大到$4\times 10^{18}$的$n$之上。

离散方城$A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$呈递减，其中$A_{n}$的“高水位”标记，出现在$n=1,2,4$之处，其中$A_{4}\sim 0.670873...$，而对于最初的$10^{5}$个质数而言，没有比这更大的值。由于$A_{n}$该方程对$n$呈现非病态递减之故，因此若要在$n$不断变大的情况下使得这个差变大，一个不断增长的质数间隙是必要的。故该猜想非常可能是正确的，但目前还没有证明。

推广

广义安德里卡猜想对最初100个质数的x的值，并标出x的最小可能解$x_{min}$的推测位置。

安德里卡猜想的推广会论及以下等式：

$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,$

其中$p_{n}$是第$n$个质数，而x是任意正实数。

易证x的最大可能解出现于$n=1$处，在此处，$x_{max}=1$；而有猜想认为，x的最小可能解出现于$n=30$处，在此处，$x_{min}\sim 0.567148...$。（OEIS数列A038458）

该猜想也可以不等式表述，因此广义安德里卡猜想可表述如下：

对于$x<x_{\min }$而言，$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1$

参见

• 克拉梅尔猜想
• 勒让德猜想
• 菲鲁兹巴赫特猜想

参考和注解

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 

外部链接

• Andrica's Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
• 埃里克·韦斯坦因. Andrica's Conjecture. MathWorld.