数学上,特别是泛函分析中,希尔伯特空间中的每个线性算子有一个相应的伴随算子(adjoint operator)。算子的伴随将方块矩阵共轭转置推广到(可能)无穷维情形。如果我们将希尔伯特空间上的算子视为“广义复数”,则一个算子的伴随起着一个复数的共轭的作用。
一个算子A的伴随常常也称为埃尔米特伴随(Hermitian adjoint,以夏尔·埃尔米特命名),记作A*或A†(后者尤其用于狄拉克符号记法)。
有界算子[编辑]
假设H是一个希尔伯特空间,带有内积
。考虑连续线性算子A : H → H(这与有界算子相同)。
利用里斯表示定理,我们可以证明存在唯一的连续线性算子
A* : H → H具有如下性质:
,对所有
。
这个算子A* 是A的伴随。
这可以视为一个方块矩阵的转置共轭或伴随矩阵推广,在标准(复)内积下具有相似的性质。
马上可得的性质
- A** = A
- 如A可逆,则A* 也可逆,且 (A*)−1 = (A−1)*
- (A + B)* = A* + B*
- (λA)* = λ* A*,这里λ* 表示复数λ的复共轭
- (AB)* = B* A*
如果我们定义A的算子范数为
![{\displaystyle \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c077c0693ff3ed0bb3860135d3f66d4adc040834)
则
![{\displaystyle \|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3894550ec9d1b14476e0e3d40853df3f5de3e53f)
而且有
。
希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。
A的像与它的伴随的核的关系为
![{\displaystyle \ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cafab012ddcd8ef0ed67f449835656dd3b8185a)
。
第一个等式的证明:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c35fc123edc68d489246b057e4d3bdc2dcd330)
第二个等式由第一个推出,于两边取正交空间即可。注意到一般地,像未必是闭的,但连续算子的核总是闭的。
埃尔米特算子[编辑]
有界算子A: H → H称为埃尔米特或自伴如果
- A = A*
这等价于
。
在某种意义下,这种算子起着实数(等于他们的复共轭)的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。
无界算子的伴随[编辑]
许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形,我们仍然能定义伴随,在自伴算子一文有解释。
其他伴随[编辑]
范畴论中,方程
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2df8c0231f3ba0fda6150d96d63836f00978ea8)
形式上类似地定义了伴随函子偶性质,这也是伴随函子得名之由来。
参考文献[编辑]
- Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006