基本子結構

在模型論，給定在同一個語言 $L$ 中的兩個結構 $M$ 和 $N$，我們稱 $M$ 是 $N$ 的基本子結構（英語：elementary substructure）如果

1. $M$ 是 $N$ 的子結構，且

2. 對於所有有限元組 $a\in M$，對於所有語言 $L$ 的公式 $\varphi (x)$，我們有 $M\models \varphi (a)$ 當且僅當 $N\models \varphi (a)$。

我們稱 $N$ 是 $M$ 的基本擴展當且僅當 $M$ 是 $N$ 的基本子結構。

等價條件

有時對第二個條件使用一個等價的陳述。我們可以通過對所有 $m\in M$ 增加一個常量符號 $c_{m}\$ 來擴展 $L$ 為一個新語言 $L(M)$。那麼 $M$ 和 $N$ 是解釋每個 $c_{m}\$ 為 $m$ 的 $L(M)$ 的結構。

設 $\mathrm {Th} _{L(M)}(M)\$ 和 $\mathrm {Th} _{L(M)}(N)\$ 分別是在 $M$ 和 $N$ 中為真的 $L(M)$-句子的集合(稱為它們的「基本圖」)。那麼上述條件 (2) 等價於陳述

$\mathrm {Th} _{L(M)}(M)=\mathrm {Th} _{L(M)}(N)\$.

塔斯基-沃特測試是給定一對 $M\subset N$，確定 $M$ 是否是 $N$ 的基本子結構的非常有用的必要和充分條件。