弱測量

在量子力學（以及量子計算、量子信息）中，弱測量是一種量子測量，其觀察者平均來說只獲得很少的有關系統的信息，但對狀態的干擾也很小。根據Paul Busch的定理可知，系統必然會受到測量的干擾。在文獻中，弱測量也被稱為不清晰（unsharp）、模糊（fuzzy） 、遲鈍（dull） 、噪聲式（noisy） 、漸進（approximate）或平和（gentle）的測量。此外，弱測量常常與一個不同但相關的概念「弱值」相混淆。

歷史

弱測量最初是在量子系統的弱連續測量（即量子濾波和量子軌跡）的背景下考慮的。連續量子測量的物理學如下。考慮使用一個輔助系統（例如場或電流）來探測量子系統，系統和探測器之間的相互作用使兩者相互關聯。通常，相互作用僅使系統與輔助系統具有弱關聯（具體而言，相互作用幺正算子僅需微擾展開到一階或二階）。通過測量輔助系統並利用量子測量理論，可以確定基於測量結果的系統狀態。為了實現有效的測量，必須耦合進多個輔助系統並測量。在極限情況下，存在一系列輔助系統，使得測量過程可以在時間上是連續的。這一過程首先由以下學者表述：Michael B. Mensky; Viacheslav Belavkin; Alberto Barchielli, L. Lanz, GM Prosperi; Barchielli; Carlton Caves; Caves, Gerald J. Milburn. 後來 Howard Carmichael 和 Howard M.Wiseman 也為該領域做出了重要貢獻。

弱測量的概念經常被錯誤地歸於 Yakir Aharonov 、 David Albert 和 Lev Vaidman 。在他們的文章中，他們考慮了一個弱的測量的例子（也許也撞上了「弱測量」這個短語），並以此作為動機來定義弱值（他們在此首次定義了弱值）。

數學表述

對於弱測量，尚無普遍接受的定義。一種方法是將弱測量聲明為這樣一種廣義測量，其克勞斯算子中的一些或全部接近於恆等算子。下面採用的方法是使兩個系統發生弱相互作用，然後測量其中一個系統。詳細介紹這種方法之後，我們將通過示例進行說明。

弱相互作用和輔助耦合測量

考慮一個系統，其初始的量子態為 $|\psi \rangle$ ，同時輔助系統處於 $|\phi \rangle$ ，聯合的初始狀態則為 $|\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$ 。這兩個系統依照哈密頓算子 $H=A\otimes B$ 相互作用，其生成的時間演化算子 $U(t)=\exp[-ixtH]$ （取 $\hbar =1$ 的單位制）， 其中 $x$ 是「相互作用強度」且具有時間倒數的量綱。假設相互作用時間固定為 $t=\Delta t$ 且 $\lambda =x\Delta t$ 很小以至於 $\lambda ^{3}\approx 0$ 。 $U$ 關於 $\lambda$ 的級數展開給出

${\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}$

由於在微擾論中只需要將幺正算子展開到低階，所以稱其為一個弱的相互作用。此外，幺正算子的主要部分是恆等算子，因為 $\lambda$ 和 $\lambda ^{2}$ 很小，這意味着相互作用後的狀態與初始狀態並沒有太多區別。相互作用後系統的聯合狀態為

$|\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .$

現在我們對輔助系統進行測量來了解系統，這稱為輔助系統耦合測量。我們將考慮（輔助系統上的）在基 $|q\rangle$ 下的測量，其中 $|q\rangle$ 滿足 ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ 。兩個系統上的測量都由到聯合狀態 $|\Psi '\rangle$ 的投影算子 $\Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|$ 來描述。從量子測量理論可知測量後的條件狀態是

${\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}$

其中 ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ 是歸一化因子。注意輔助系統狀態記錄了測量的結果。 ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ 是系統的希爾伯特空間上的算子，稱為克勞斯算子。

在這些克勞斯算子對應的測量後，聯合系統的狀態為

$|\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .$

算子 $E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}$ 是所謂的正算子測量的元素，其須滿足 ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ 從而使得相應的概率之和為一： ${\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$ 。由於輔助系統不再關聯於主系統，它只是記錄測量的結果，我們可以跡掉它。這做法將給出主系統本身的條件狀態：

$|\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},$

這裡仍用 $q$ 標記測量結果。事實上，這些考慮使得人們得以導出量子軌跡。

克勞斯算子示例

我們將使用 Barchielli, Lanz, Prosperi以及 Caves, Milburn給出的高斯型克勞斯算子的典型例子。取 $H=x\otimes p$ ，其中兩個系統的位置和動量算子滿足通常的正則對易關係 $[x,p]=i$ 。取輔助系統的初態為一高斯分布

$|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .$

輔助系統的位置波函數為

$\Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].$

前文的克勞斯算子（在前文的表達式中取 $\lambda =1$ ）為

${\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}$

而相應的正算子測量的元素是

${\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}$

且服從 ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ 。在文獻中經常能看到另一種表現形式。使用位置算子的譜表示 ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ ，有

${\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}$

注意 ${\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$ 。也就是說，在特定的極限下，這些算子趨於對位置的強測量；對於 $\sigma$ 的其他值，這種測量則稱為是有限強度的；對於 $\sigma \to \infty$ 的極限情況，則說測量是弱的。

信息獲取與狀態擾動的得失交換

如前所述，Busch的定理阻止了免費午餐的出現：沒有對態的擾動就無法取得信息。然而，信息獲取和態的擾動間的得失交換已被許多作者刻畫，其中包括 C.A. Fuchs 和 Asher Peres; Fuchs; Fuchs, KA. Jacobs; K. Banaszek.

最近，人們在所謂的「溫和測量引理」的語境下檢驗了信息獲取與態的擾動間的交換關係。

應用

從很早以前就已經很清楚，弱測量的主要用途是用於量子系統的反饋控制或自適應測量。事實上，這是 Belavkin 大部分工作的動機，而 Caves 和 Milburn 也給出了一個明確的例子。自適應弱測量的一個早期應用是Dolinar接收器，該接收器已在實驗上實現。弱測量的另一個有趣的應用是使用弱測量，然後跟一個幺正算子（可能依賴於弱測量的結果）來合成其他廣義測量。 Wiseman 和 Milburn 的書是關於許多現代發展的良好參考資料。

延伸閱讀

• Brun 的文章
• Jacobs 和 Steck的文章
• Jacobs, Kurt. Quantum measurement theory and its applications. Cambridge ; New York: Cambridge University Press. 2014. ISBN 978-1-107-02548-6. 
• ]Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. Quantum Measurement and Control. Cambridge; New York: Cambridge University Press. 2009: 460. ISBN 978-0-521-80442-4. 
• Tamir 和 Cohen 的文章