離散傅立葉級數

離散傅里葉級數（DFS）與連續傅立葉級數相比有很大的區別。最大的不同在於離散時間傅里葉級數的係數序列是周期的。

離散傅里葉級數的公式

周期為N的周期序列$\left\{a_{n}\right\}$，其離散傅里葉級數為$\left\{x_{k}\right\}$：

$x[k]=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}$

其中，DFS的逆變換序列：

$a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x[k]\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}$ （k=<N>表示對一個周期N內的值求和）

進一步分析

連續周期信號的離散化（下面的討論中，$\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$）：

1. 首先，在傅里葉級數一文中，我們知道函數$f(t)=e^{i({\frac {2\pi }{T}})t}$是對於任意的T是周期為T的函數，然而其對應的離散信號則不一定是周期的，可以證明，只有當${\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$是有理數時，離散信號f[n]才是周期函數。
2. 其次，在滿足條件1的前提下，連續周期信號$f_{k}(t)$對應的離散信號$f_{k}[n]=e^{ik({\frac {2\pi }{N}})n}$對k也具有周期性，其周期為N,即$f_{k}[n]$中只有N個不同的序列。
3. 從離散時間傅里葉變換的係數公式我們可以看出，$a_{k}$也是對k周期為N的函數。
4. 離散傅里葉變換實際上是離散時間傅里葉級數在主值區間上的取值。我們注意到，離散傅里葉變換是對非周期函數f[n]進行的，如果我們對f[n]的定義拓廣為周期函數f'[n]：$f'[n]=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }f(n+i\cdot N)$。並且當$N\to \infty$時，f'[n]實際上就是f[n]，那麼我們現在可以求出f'[n]的傅里葉級數。同樣，當$N\to \infty$時無窮級數變成了積分，得到的結果是一個連續的周期函數$X(e^{i\omega })$（正如離散傅里葉變換一文中所述），這就是f[n]的離散時間傅里葉變換。這時，只需在它的主值區間上採樣，就可以得到離散傅里葉變換的變換序列。

參閱

• 傅里葉級數
• 傅里葉變換
• 離散傅里葉變換
• 離散時間傅里葉變換