在數學領域中,兩個集合是等勢的(英語:equinumerous)意為它們之間存在一個雙射。這種性質經常叫做等勢性(equinumerosity)。英文中也會用術語 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。
定義 —
和
是二集合,若
滿足
(
是
和
間的函數)
(每個
都可以用
的規則對到某
)
(
都對到
則兩者相等 )
此時用以下符號簡記:
![{\displaystyle A\,{\overset {f}{\cong }}\,B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c372ab5facbc14aa89ef410adb88e1ad86ddff)
更進一步的,可以定義:
![{\displaystyle A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1317287a1d7b388d169b08fdab5f1659508f881f)
並可簡稱為
和
是等勢的。
直觀上來說,就是任意
都可以透過函數
的規則,被唯一的一個
對應。而所謂的等勢,就是
和
間存在這樣的一對一且不遺漏的對應關係。
設
是全體偶數的集合,那麼,它與自然數集
是等勢的;
有理數
與自然數
是等勢的(所有有理數與自然數是「一樣多」的);
然而,無理數
與自然數
或有理數
都不等勢(無理數比有理數「個數多」)。
勢的
範疇論的等勢[編輯]
在集合範疇中,帶有函數作為態射的所有集合的範疇,在兩個集合之間的同構正好是一個雙射,而兩個集合正好是等勢的,如果它們在這個範疇中是同構的。