置換群

數學上，一個給定集$M$上，所有到自身的可逆映射構成的集合關於映射的合成構成一個群，稱為$M$的對稱群，記為$S_{M}$。$S_{M}$的任一子群稱為$M$上的變換群。 如果$M$是包含$n$個元素的有限集，稱其到自身的可逆映射為$n$階置換（英語：permutation）。其對稱群稱為$n$階對稱群（英語：sysmmetric group of degree n），並把$S_{M}$記為$S_{n}$。同時稱$S_{n}$的任一子群為置換群。

置換群到被置換的元素的應用稱為群作用；它在對稱性和組合論以及數學的其他很多分支中有應用，也是研究晶體的結構等所不可或缺的工具。

例子

置換通常寫作輪換形式，例如，在輪換指標計算中，給定集合$M=\{1,2,3,4\}$，$M$的一個置換$g$若為$g(1)=2,g(2)=4,g(4)=1$和$g(3)=3$，可以寫作$(1,2,4)(3)$，或者更常見的寫作$(1,2,4)$，因為$3$保持不變；若對象有單個字母或數字表示，逗號也被省去，所以可以記作$(1\ 2\ 4)$。

常見的置換群

$M=\{1,2\}$

$(1),(1\ 2)$

$M=\{1,2,3\}$

$(1),(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)$

$M=\{1,2,3,4\}$

$(1),$ $(1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4),$ $(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2\ 4),(1\ 4\ 2),(1\ 3\ 4),(1\ 4\ 3),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3),$ $(1\ 2\ 3\ 4),(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 3\ 2\ 4),(1\ 3\ 4\ 2),(1\ 4\ 2\ 3),(1\ 4\ 3\ 2),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)$

參看

• 群作用
• 本原群
• 置換
• 輪換
• 交錯群

參考

• John D. Dixon and Brian Mortimer. Permutation Groups. Number 163 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
• Akos Seress. Permutation group algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.