一元二次方程

一元二次方程式是只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次的多項式方程。

例如， $x^{2}-3x+2=2$ ， $\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0$ ， $t^{2}-3=0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是　 $ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$

其中， $ax^{2}$ 是二次項， $bx$ 是一次項， $c$ 是常數項。 $a\neq 0$ 是一個重要條件，否則就不能保證該方程未知數的最高次數是二次。當然，在強調了是一元二次方程之後， $a\neq 0$ 也可以省略不寫。另外，一元二次方程式有時會出現復數根。

歷史[編輯]

古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年（2000 BC）古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在着爭議。這個求解規則是（引自婆什迦羅第二）：

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的系數的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數的系數的平方；然後在方程的兩邊同時開二次方根。

將其轉化為數學語言：解關於 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx=-c$

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的系數的四倍，即^[1] $4a$ ，得　 $4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$

在方程的兩邊同時加上一次項未知數的系數的平方，即 $b^{2}$ ，得　 $4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}$

然後在方程的兩邊同時開二次方根，得　 $2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}$

解法[編輯]

阿貝爾指出，任意一元二次方程都可以根據 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三個系數，通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個根。

因式分解法[編輯]

把一個關於 $x$ 一元二次方程變形成一般形式 $ax^{2}+bx+c=0$ 後，如果 $ax^{2}+bx+c=0$ 能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程。

將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等於零，可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程，得到的兩個解都是原方程的解。

如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 存在兩個實根 $x_{1},x_{2}$ ，那麼它可以因式分解為 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ 。

例如，解一元二次方程 $x^{2}-3x+2=0$ 時，可將原方程左邊分解成 $\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$ ，所以 $x-1=0\quad x-2=0$ ，可解得 $x_{1}=1\quad x_{2}=2$

公式解法[編輯]

對於 $ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$ ，若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0$ ，則它的兩個不等實數根可以表示為

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ ；

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0$ ，則它的兩個相等實數根可以表示為

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}$ ；

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0$ ，則它的兩個共軛複數根可以表示為

$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$ 。

公式解的證明[編輯]

公式解可以由配方法得出。

已知關於 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0$

①移項，得：

$ax^{2}+bx=-c$ ；

②二次項系數化為 $1$ ，得：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$ ；

③配方，得：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}$ ，

${\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ ；

因為 $a\neq 0$ ，所以

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0$ ，則它的兩個不等實數根可以表示為

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ ；

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0$ ，則它的兩個相等實數根可以表示為

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}$ ；

若 $\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0$ ，則它的兩個共軛複數根可以表示為

$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$ 。

一般化[編輯]

一元二次方程的求根公式在方程的系數為有理數、實數、複數或是任意數體中適用。

公式中的根式 ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 $b^{2}-4ac$ 的數當中任何一個」。在某些數體中，有些數值沒有平方根。

根的判別式[編輯]

對於實系數一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$ ， $\Delta =b^{2}-4ac$ 稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式，一元二次方程的根有三種可能的情況：

如果 $\Delta >0$ ，則這個一元二次方程有兩個不等的實數根。如果系數都為有理數，且 $\Delta$ 是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根至少有一個是無理數。

如果 $\Delta =0$ ，則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。這兩個等根 $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$

如果 $\Delta <0$ ，則這個一元二次方程有兩個不等的複數根，兩根互為共軛複數。這時兩根分別為 $x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$ ，其中 ${\text{i}}={\sqrt {-1}}$ 。