垂直平分線

垂直平分線，或稱中垂線，指一垂直於某個線段且經過該線段中點之直線。兩個成軸對稱的點連成的線段被其對稱軸垂直平分。中垂線亦可成為平角的角平分線。

尺規作圖[編輯]

分別以該線段兩端點為圓心，大於線段一半之等長長度為半徑畫弧，兩弧相交之兩點連接成的直線即為該線段的垂直平分線。

垂直平分線上任一點到線段兩端點等距。若直線L為 ${\overline {AB}}$ 之垂直平分線，則直線L上任意一點P可以使線段 ${\overline {PA}}={\overline {PB}}$

垂直平分線上任一點與線段兩端點相連構成的角被垂直平分線所平分。直線L平分 $\angle APB$ 。

在 $\triangle XAM$ 和 $\triangle XBM$ 中：

$\because {\overline {AM}}={\overline {BM}}$ (定義),

$\angle AMX=\angle BMX=90^{\circ }$ (定義),

${\overline {XM}}={\overline {XM}}$ (公共邊)

$\therefore \triangle XAM\cong \triangle XBM(SAS)$

$\Rightarrow {\overline {AX}}={\overline {BX}}$ , 且 $\angle AXM=\angle BXM$

(Q.E.D.)

任意三角形ABC中，AB、AC、BC中垂線交於一點O，則我們稱此點O為三角形ABC的外心。

鈍角三角形的外心恆在圖形外部，直角三角形的外心恆在斜邊中點，銳角三角形的外心恆在圖形內部。