數學中,龐加萊度量(Poincaré metric),以昂利·龐加萊命名,描述了一個常負曲率二維曲面的度量張量。它是雙曲幾何和黎曼曲面中廣為使用的自然度量。
在二維雙曲幾何中有三種廣泛使用的等價表述。其中一個是龐加萊半平面模型,在上半平面上定義一個雙曲空間模型。龐加萊圓盤模型在單位圓盤上定義了一個雙曲空間模型。圓盤與上半平面通過一個共形映射聯繫,等距由莫比烏斯變換給出。第三個表述是在穿孔圓盤上,通常表示為與 q-類似(Q-analog)的關係,這種形式不同於前兩種。
黎曼曲面上的度量概要[編輯]
複平面上的度量可寫成一般形式
![{\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9512c45e1f17fb58c0c1f93143a87808bfae5d1c)
這裏 λ 是 z 與
的一個實正函數。複平面上曲線 γ 的長度為
![{\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d4bc604aa533faf41ed137ceb8e52a77c9e1db)
複平面上子集 M 之面積是
![{\displaystyle {\mbox{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d923fcd5838f27cfa573603be9b35af03578ab)
這裏
是用於構造體積形式的外積。度量的行列式等於
,故而行列式的平方根是
。複平面上的歐幾里得體積形式為
,從而我們有
![{\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864272c49841e9c80de85b27e03240b88a5e0719)
函數
稱為度量的勢能(potential of the metric),如果
![{\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebae52f6a939b5266e03583ced9c0b5e53e55bb2)
拉普拉斯–貝爾特拉米算子為
![{\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaa04864c0fd4153778b8aa2e039abf368b68fb)
度量的高斯曲率由
![{\displaystyle K=-\Delta \log \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e810dd76de9fe65db56e2b57cba0eb6e7f8f54)
給出,這個曲率是里奇數量曲率的一半。
等距保持角度與弧長。在黎曼曲面上,等距與坐標變換等價:即拉普拉斯-貝爾特拉米算子與曲率在等距下不變。從而,比如設 S 是一個黎曼曲面帶有度量
而 T 是帶有度量
的黎曼曲面,則映射
![{\displaystyle f:S\to T\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828e51435aa55ae5dcb7e8aca90210d2eec646f9)
以及
是等距若且唯若它是共形的以及
![{\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d00c06fe602530c270b7f2901ccf4477ee6170)
在這裏,映射為共形的也就是條件
![{\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51064246935eca21ac6a11556f90669dfc5808e2)
即
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7825c8f73ec1e8a1591a2365cdaf2ca1d48c632)
龐加萊平面上的度量與體積元[編輯]
龐加萊半平面模型中上半平面 H 的龐加萊度量張量為
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4a9fbb27d32128b25df4dfd9bdbf1b622d3974)
這裏我們記
。這個度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。這就是,如果我們記
![{\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2497aacb26bd5178d8fc3ed00567ade4b67bfe)
對
,則我們可算得
![{\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de37bbb09a8374ec20307749e3afb7847cb0c634)
與
![{\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3ed1dffc15427c4ea2718681e4773e85eed875)
無窮小變換為
![{\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0576d07d45488cfeb08f67d949196b1279c2719)
從而
![{\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bad5627cdb8be897170377e6e86188e7862a1c3)
這樣便清楚地表明度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。
不變體積元素為
![{\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b29c326206b27cb8024c45c5b1e26cef5a8270e)
對
度量為
![{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971b5dcd43cbe3b2e019e94cff02ac9eeb7ffeff)
![{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7e81b54872531618287065122e0b8cc1262669)
度量的另一個有用的形式是用交比給出。給定緊化複平面
上任意四點
與
,交比定義為
![{\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132c51c5da34ae120e6ac30dd0d70a9ae0e788b1)
那麼度量用交比表示為
![{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58df68b9da10f281a02a9c9cd1dbd5829f4c7b8c)
這裏
與
是端點,位於實數軸上,測地線連接
與
。這些點是有順序的故
位於
與
之間。
這個度量張量的測地線是在兩個端點處垂直於實軸的圓弧(的一段),即端點位於實軸的上半圓周。
從平面到圓盤的共形映射[編輯]
上半平面可以共形地映到單位圓盤,用莫比烏斯變換
![{\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06ff8c4ba18696eaa8859ea8755e77c50220582)
這裏單位圓盤上的點 w 對應於上半平面上的點 z。在這個映射中,常數 z0 可取上半平面上任何一點;這個點將映為圓盤的中心。實數軸
映為單位圓盤的邊界
。實常數
將圓盤旋轉任意一個角度。
典範映射是
![{\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f082de8376a9e5401d707596fcdb4542c8aa9f)
將 i 映為圓盤的中心,0 映為圓盤的最低點。
龐加萊圓盤上的度量與體積元素[編輯]
龐加萊圓盤模型里的龐加萊度量張量在單位圓盤
上為
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f900cdede3a32dcd7dd2b7e354168458df83cbc9)
體積形式為
![{\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325f887dce0b7224da3f2ce5ec4db077b01cfc14)
對
的龐加萊度量為
![{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daad57bb76fac2472b1b3ce9afc70382466f60a2)
這個度量張量的測地線是在端點處正交於圓盤邊界的圓弧。
穿孔圓盤模型[編輯]
穿孔圓盤坐標上的 J-不變量(J-invariant);這是 nome 的一個函數。
龐加萊圓盤坐標上的 J-不變量;注意這個圓盤比文中給出的典範坐標旋轉了90度。
第二個將上半平面映成圓盤是 q-映射:
![{\displaystyle q=exp(i\pi \tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c500c9b2e44623295de52b3b35e6f6fc7eb1cf2c)
這裏 q 是 nome(Nome),
是半周期比例(half-period ratio)。在上一節的記號中,
是上半平面
的坐標。這個映射映到穿孔圓盤,因為值 q=0 不在映射的像中。
上半平面的龐加萊度量在 q-圓盤上誘導一個度量
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0104aa901baab546479da36f2cdcab064f7f3743)
度量的勢能是
![{\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4ffc30ee913d4d266cbab15cb78cfd95c79e3d)
施瓦茨引理[編輯]
龐加萊度量在調和函數上距離減小。這是施瓦茨引理的一個推廣,稱為施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理(Schwarz-Alhfors-Pick theorem)。
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
- Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)