弱哥德巴赫猜想

普魯士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫與瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的通信

弱哥德巴赫猜想（英語：Goldbach's weak conjecture），又稱為奇數哥德巴赫猜想（英語：odd Goldbach conjecture）、三素數問題（英語：3-primes problem），其表述為：

任一大於5的奇數都可以表示為三個素數之和。

如果「強」哥德巴赫猜想成立，便可以推出此猜想，故這一猜想被稱為「弱」哥德巴赫猜想。（強哥德巴赫猜想成立意味着大於4的偶數都可表示為兩個奇素數之和，再加上3就可以使大於7的奇數表示為三個奇素數之和）

2013年5月13日，法國國家科學研究院和巴黎高等師範學院的數論領域的研究員哈洛德·賀歐夫各特，在線發表兩篇論文宣佈徹底證明了弱哥德巴赫猜想。哈洛德·賀歐夫各特在文章「Minor arcs for Goldbach's problem」中，給出了指數和（ exponential sum）形式的一個新界。在文章「Major arcs for Goldbach's theorem」中，哈洛德·賀歐夫各特綜合使用了哈迪-利特伍德-維諾格拉多夫圓法（主要工具是傅里葉分析，創建了一個周期函數，其範圍包括所有素數），篩法和指數和等傳統方法，把下界降低到了10³⁰左右，哈洛德·賀歐夫各特的同事大衛·普拉特用計算機驗證在此之下的所有奇數都符合猜想，從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。

研究史

1923年，英國數學家哈代與李特爾伍德證明，假設廣義黎曼猜想成立，弱哥德巴赫猜想對充分大的奇數是正確的。

1937年，蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫（Ivan Vinogradov）更進一步，在無需廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數可以表示為三個素數之和，被稱為維諾格拉多夫定理。不過由於維諾格拉多夫的證明使用了西格爾－瓦爾菲施定理（Siegel–Walfisz theorem），因而無法給出「充分大」的界限。他的學生博羅茲金（K. Borozdin）於1939年確定了一個「充分大」的下限：$3^{14348907}$。然而這一數字有6,846,169位，要驗證比該數小的所有數是完全不可行的。

法國數學家奧利維耶·拉馬雷（Olivier Ramaré）於1995年證明，不小於4的偶數都可以表示為最多六個素數之和。而萊塞克·卡涅茨基（Leszek Kaniecki）則證明了在黎曼猜想成立的前提下，奇數都可表示為最多五個素數之和。2012年，陶哲軒在無需黎曼猜想的情形下證明了這一結論。

1997年，戴舍爾（Deshouillers）、埃芬格（Effinger）、特里爾（te Riele）與季諾維也夫（Zinoviev）證明，在廣義黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。這一結果由兩部分構成，其一是證明了大於$10^{20}$時弱哥德巴赫猜想成立，而小於此數的情況則由計算機驗證得到。

2002年，香港大學的廖明哲與王天澤把「充分大」的下限降至$n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}$。不過這仍然超出了計算機驗證的範圍（計算機僅對$10^{18}$以下的數驗證過強哥德巴赫猜想，弱哥德巴赫猜想的驗證範圍比此略多）。不過這一下限已經足夠小，使得比其小的單個奇數都可以用現有的素性測試來驗證，如橢圓曲線素性測試已被用來驗證多達26,643位數的素性。