在數學與數學物理中,給定流形 M 上一個張量,若在 M 已有一個非退化形式(比如黎曼度量或閔可夫斯基度量),我們可將指標上升或下降:將一個
張量變成一個
張量(上升)或一個
張量(下降)。 這裏記號
用於表示張量的秩
,有
個上指標和
個下指標。
可以這樣做:將張量乘以共變或反變度量張量,然後做縮並。下文在對重複指標
求和時使用愛因斯坦記號。
乘以反變度量張量(然後縮並)上升指標:
![{\displaystyle g^{ij}A_{j}=A^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5b2532c4f30e47590034a9c82936078cbda6b1)
而乘以共變度量張量(然後縮並)下降指標:
![{\displaystyle g_{ij}A^{j}=A_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7578987ce8cf5e6332c838abe77c6bfaa2266ceb)
對同一個指標先上升然後下降(或順序相反)得到原來的張量,這反應了共變度量張量與反變度量張量互逆:
![{\displaystyle g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Trg=N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f970a8224e9da55d619665c3b578502ec32c0ef4)
這裏 N 是流形的維數。注意下降一個指標不要求形式非奇異,但相反的過程需要非奇異條件。
廣義相對論中的例子[編輯]
閔可夫斯基空間具有度量張量
![{\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b40769e2bfa60e3993810a2e704cdf31db05c7)
共變電磁張量由下式給出
![{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26dcd26658f9b0dc225888995525c0d61b276834)
- 注意:一些教材,比如 Griffiths[1],可能有一個因子 -1。這是因為他們使用了度量張量與此處差一個符號,參見度量符號。老教材比如 Jackson 2ed 沒有因子 c;他們使用高斯單位,這裏使用國際單位制。
為了得到共變張量
,我們用
![{\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }F^{\kappa \lambda }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be40dc330a55478de476676ee6112ee30ed6e70d)
注意因為
是對角的,上式中許多項其實沒有:
![{\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \mu }g_{\nu \nu }F^{\mu \nu }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e6f0ec8a0ecd42caea76d21288bbb22c0967f9)
對指標 1、2、3 使用拉丁字母:
![{\displaystyle F_{ij}=g_{ii}g_{jj}F^{ij}=F^{ij}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd48e3c5b78d844bb9e86e004b0cb0c96cef3ef3)
因為度量張量中的因子都是 -1。
![{\displaystyle F_{ii}=(g_{ii})^{2}F^{ii}=F^{ii}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b3e709499a6c53ce14a8596d1ba89ffad6cfda)
![{\displaystyle F_{0i}=g_{00}g_{ii}F^{0i}=-F^{0i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9ac87db269e7bc5a861253db0ebe558510cb94)
類似
![{\displaystyle F_{i0}=-F^{i0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25b39649cbfe2a241f58680c160b94c7b2458df)
將它們放在一起,我們得到:
![{\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1ef5d8db9cc53f6b142fb774e91de8a09ac8a6)
參考文獻[編輯]
相關條目[編輯]