貴金屬比例、貴金屬分割(英語:metallic ratio)定義為
(n為自然數)
所表示的比率。
隨
值的不同,又稱為第
貴金屬比例、第
貴金屬分割。特別地,第1貴金屬比例
稱為黃金比例、第2貴金屬比例
稱為白銀比例、第3貴金屬比例
稱為青銅比例。
[1]
貴金屬數[編輯]
貴金屬數
0
|
|
1
|
1
|
1
|
|
|
1.6180339887...
|
2
|
|
|
2.4142135623...
|
3
|
|
|
3.3027756377...
|
4
|
|
|
4.2360679774...
|
5
|
|
|
5.1925824035...
|
6
|
|
|
6.1622776601...
|
7
|
|
|
7.1400549446...
|
8
|
|
|
8.1231056256...
|
9
|
|
|
9.1097722286...
|
n
|
|
貴金屬數是
![{\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc525ad85eebd025103eb00678b7ea3923efa19d)
即二次方程式
的正根。
連分數[編輯]
貴金屬數的連分數表示是:
![{\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95c55de273af96c5fcd4a6cc7fc45fc1022d0f1)
數列的商的極限[編輯]
黃金數(第1貴金屬數)是斐波那契數列相鄰兩項的比的極限,白銀數(第2貴金屬數)是佩爾數列相鄰兩項的比的極限;一般地,也存在以第
貴金屬數為相鄰兩項的比的極限的數列。
數列
的遞推關係式
![{\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c19369d372742f10380a4ed56813817ea24ba9)
一旦定義了此關係式,則在此之中,第
貴金屬數為
,有
![{\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5bd846603a408f7ca5461767e82354099daa7f)
成立。在這種情況下,這個序列的兩個相鄰項的商數在
收斂於
。即
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9a8e413b7cd1f1e17572adc5fe0ceb0d1b3c45)
成立。
參考文獻[編輯]