費希爾方程

  提示：此條目的主題不是金融數學中的費雪方程式。

在數學中， 費希爾方程（Fisher equation），是由生物學家羅納德·艾爾默·費希爾於1936年為了研究人群中某基因的傳播，以及邏輯型的生長-擴散現象而引入的一個非線性偏微分方程。此方程可以描述一些在生物學和化學系統中出現的波的傳播現象，例如燃燒、擴散和傳質、非線性擴散、生態學以及反應堆中的中子數量等等。費希爾方程可寫成以下形式:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=au(1-u)$ 。

費希爾方程是費希爾-柯爾莫哥洛夫方程的一種特例。

解析解

費希爾方程的行波解（traveling-wave solution）為：

$w(x,t)=\pm \xi ^{2}\varphi (\xi )$ 且 $\xi =C_{1}exp({\frac {1}{6}}{\sqrt {6a}}x+{\frac {5}{6}}at)$

其中，$\varphi (\xi )$ 通過隱函數定義為：

$\xi =\int {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {\pm (4\varphi ^{3}-1)}}}-C_{2}$

C₁ 和 C₂ 為任意的常數。上述定義的反函數對應着魏爾斯特拉斯橢圓函數，即

$\varphi (\xi )=\wp (\xi +C_{3},0,1)$

行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

相關條目

• 費希爾-柯爾莫哥洛夫方程
• 反應-擴散系統

延伸閱讀

1. 谷超豪 《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》 上海科學技術出版社
2. 閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》 科學出版社 2007年
3. 李志斌編著 《非線性數學物理方程的行波解》 科學出版社
4. 王東明著 《消去法及其應用》 科學出版社 2002
5. 何青 王麗芬編著 《Maple 教程》 科學出版社 2010 ISBN 9787030177445
6. Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
7. Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
8. Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
9. Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
10. David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
11. George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759