在數學中,非對稱關係(英語:Asymmetric relation)是二元關係的一種。若集合
上的二元關係
為非對稱關係,則對於所有
,
。換句話說,如果
至
存在關係,則
至
不存在關係[1]。
正式定義[編輯]
一個定義於
上的二元關係
是
的任何子集。給定
,我們將
簡寫為
,讀作「
至
存在關係
(
is related to
by
)」。
如果對於所有
,若
,則
(也就是
),則我們稱
是非對稱的。以一階邏輯的形式可以寫成:
一個邏輯等價的定義如下:對於所有
,
與
中至少有一為假。以一階邏輯的形式可以寫成:
非對稱關係的一個例子是定義於實數上的「小於關係」,亦即
。由於當
小於
時,
一定不小於
,因此
是非對稱的。另一方面,「小於等於關係」則不是非對稱的,因為當
時,
和
會同時成立,不符合非對稱關係的定義。
非對稱關係不代表對稱關係的相反,上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係,也不是對稱關係;而「空關係(
)」是唯一同時是非對稱關係,也是對稱關係的關係。
非對稱關係(Asymmetric)與反對稱關係(Antisymmetric)的差異在於:反對稱關係容許自反性,
可以屬於
,而非對稱關係不允許。如上述的「小於等於關係」即是反對稱關係的一例。
- 一個關係為非對稱的,若且唯若該關係為反對稱且非自反的[2]。
- 對於一個非對稱關係
,對其施加限制或求其逆關係後,該關係同樣是非對稱的。例如,由「
」定義的關係是非對稱關係(若
則
),若將集合從實數限縮至整數,該關係同樣是非對稱的;求該關係的逆關係「
」,該逆關係同樣是非對稱的。
- 一個遞移關係為非對稱的,若且唯若該關係為非自反的[3]:若存在
且
使得該關係不是非對稱,則由遞移性可得到
,使得該關係同樣不是非自反關係。
- 一個關係為遞移性的且非對稱的,若且唯若該關係為嚴格偏序的。
- 一個非對稱關係不一定是全關係。例如,由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係(若
則
),但不是全關係(
又
)。
參考資料[編輯]
- ^ Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273, 1993 .
- ^ Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158, 2002 .
- ^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20]. (原始內容 (PDF)存檔於2013-11-02). Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".