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覆蓋 (拓撲學)

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數學中,若 是一個集合 併集子集,則集合 集合 覆蓋。用符號來說,如果 的子集索引族,則 是如下條件下的覆蓋(定義可參見: Gamelin 與 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁)

更一般的說,如果 的子集,而 的子集 搜集,它的併集包含 ,則 被稱為是 的覆蓋。也就是 的覆蓋如果

拓撲學中覆蓋[編輯]

覆蓋通常用在拓撲學的上下文中。如果集合 拓撲空間,我們稱 開覆蓋,如果它的每個成員都是開集(就是說每個 都包含在 中,這裏的 上的拓撲)。

如果 的覆蓋,則 子覆蓋 的仍覆蓋 的子集。

的開覆蓋被稱為是局部有限的,如果對任意 的點 都存在一個鄰域,其只與這個覆蓋中有限多個集合有交集。用符號來說, 是局部有限的,如果對於任何 ,存在某個 的鄰域 使得集合

是有限的。

精細[編輯]

的覆蓋 精細(或稱加細)是 的新覆蓋 ,使得在 中的任意的一個集合,都包含在 的某個集合中。

用符號來說,有 覆蓋 ,如果對任意的 ,都存在某個 使得 ,我們則說 是覆蓋 的精細。

所有子覆蓋也是精細,反之不然。但是注意一般的說精細將比原始覆蓋有更多的集合。

緊緻性[編輯]

覆蓋的這個詞語經常用來定義與緊緻性有關的拓撲性質。一個拓撲空間 X 被稱為

  • 緊緻的,如果所有開覆蓋有有限子覆蓋。
  • 林德勒夫的,如果所有開覆蓋都有可數子覆蓋。
  • 元緊緻的,如果所有開覆蓋都有一個點有有限開精細。
  • 仿緊緻的,如果所有開覆蓋允許局部有限、精細。

引用[編輯]

  1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 (英語). 
  2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 (英語).