連通空間

R² 的連通和不連通子空間。上面的空間 A 是連通的，下面的空間 B 是不連通的。

定義

拓撲空間X稱為是連通的。當且僅當以下敘述之一成立：

• X不能表示為兩個分離的非空開集的併集。
• ∀A⊆X，A≠X或∅，A^-∩(X-A)^-≠∅。

一個拓撲空間被稱為是不連通的，若它不是連通的。

連通性是拓撲空間的一個拓撲不變性質，即兩個拓撲空間之間若存在一個同胚映射，其中一個空間是連通的，則另一個空間也是連通的。

一些數學家承認空集(按照它獨有的拓撲)是連通空間，不過也有數學家不承認這一點。

連通單元

連通子集

拓撲空間X的子集A稱為連通的，當且僅當A誘導的子拓撲空間是連通的。

連通單元

拓撲空間的極大連通子集稱作連通單元。

完全不連通空間

拓撲空間X稱為完全不連通空間，當且僅當X的連通單元都是單元素集合。

每個空間都能表成它的連通單元的不相交併集。

連通單元必然是閉的，在夠好的空間（如流形、代數簇）上也同時是開的，但並非總是如此。

其它連通性定義

路徑連通，弧連通

R² 的這個子空間是路徑連通的，因為在這個空間的任何兩點之間可繪製一個道路。

稱拓撲空間X是道路連通空間，當且僅當∀x,y∈X，存在連續函數$\gamma :[0,1]\to X$ 使得 $\gamma (0)=x,\gamma (1)=y$。若$\gamma$ 可取為使得 $[0,1]\to \gamma ([0,1])$ 為同胚，則稱X為弧連通空間。

路徑連通空間必定是連通空間，反之不一定。

路徑連通的郝斯多夫空間必為弧連通空間。

局部連通

拓撲空間X稱為局部連通的，當且僅當以下敘述之一成立：

• 空間中的任一點都存在連通的鄰域（即該鄰域是X的連通子集）。
• 空間的拓撲基完全由連通的集合組成。

例子

• 拓撲學家的正弦曲線：在平面歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{2}$中定義集合
  $S=\{(x,\sin {\frac {1}{x}})|x\in (0,1]\}$
  和
  $T=\{(0,y)|y\in [0,1]\}$
  。考慮$S\cup T$在$\mathbb {R} ^{2}$中誘導的子拓撲空間，它是連通的，但不是局部連通的。
• 有理數：有理數集上的連通單元都是單元素集合，所以有理數集是一個完全不連通空間。

參考文獻

• Munkres, James R. Topology, Second Edition. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
• 埃里克·韋斯坦因. Connected Set. MathWorld. 
• V. I. Malykhin, Connected space, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Muscat, J; Buhagiar, D. Connective Spaces (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39: 1–13 [2011-09-06]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04）. .