中线定理,又称阿波罗尼奥斯定理,是欧氏几何的定理,表述三角形两边和中线长度关系。它等价于平行四边形恒等式。
中线定理[编辑]
对任意三角形
,设
是线段
的中点,
为中线,则有如下关系:
用莱布尼茨标量函数约简,可以容易导出这性质:只需要在两个平方中引入
:
![{\displaystyle |{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=\left|{\vec {AI}}+{\vec {IB}}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}}+{\vec {IC}}\right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f78b27b948961a03a5b02c0b7ef9447a06afaa)
得出
![{\displaystyle |{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IB}}|^{2}+2{\vec {AI}}\cdot {\vec {IB}}+|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IC}}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f9f41220e72f5602b4c723d405fcb445a10475)
是
的中点,因此
和
相反,可知式中两个标积抵消。又因
,得出
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {AI}}^{2}+2{\overline {IB}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5395843d19f634111d2856600e4a6b22190a21f)
另一个证法[编辑]
这可能是阿波罗尼奥斯的证明方法,因为他不知道莱布尼茨函数。证明如下:
设
是从
到
的垂足,则
和
是直角三角形。用勾股定理可得
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1636aa2bdbf6d5e39da69484fa46916608480b)
![{\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54a65f2d8f436e17d3febe16ad49be189f368ed)
![{\displaystyle {\overline {AI}}^{2}={\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744660a8bad8ef30f86ebdad4fe8f21a9959e591)
所以
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06be6adb080bbf705a681667df94317c6850e934)
把
和
用
和
表达出来(记得
是
的中点,因此
)。注意到虽然现在的情形假设
在线段
上,但其
他情形也可以用这个方法。
![{\displaystyle {\overline {BH}}={\overline {BI}}-{\overline {IH}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d489dfaf5d5d0bf42d37d9e3c59eded84a1e339b)
![{\displaystyle {\overline {HC}}={\overline {IC}}+{\overline {IH}}={\overline {BI}}+{\overline {IH}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a493a2d236a906b50862b133560646af792e3b)
代入前式:
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=({\overline {BI}}-{\overline {IH}})^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+({\overline {BI}}+{\overline {IH}})^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68105c61cafaee48664e7afa852d718ba1f3ab54)
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BI}}^{2}-2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964d511bbc7f7c5df13f721e89bde6a0c5400687)
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2({\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d96843aaefd1a026672fb3c187e19d78f003c6)
是直角三角形(H为
于
之垂足)
,因此
![{\displaystyle {\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AI}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7916841e877699eaeec91e26223a392c418ff591)
代入前式得出
![{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50318adba1ccfb0b2e83e0cf274581b402304e90)
中线的向量表达式[编辑]
设
是线段
的中点,则有
中线的另一条定理[编辑]
用标积表示
,其中
是
到线
的垂足。
从上得到中线的另一条定理
。
实际上
![{\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CA}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c0dd3a27f710edba1fc29df7be64560c90f9a)
投影在
上是
,因而有
.
这两个共线向量的标积可等于
或其负数,因此取绝对值。