最小能量控制

最小能量控制（minimum energy control）是控制理论的一种，是指让线性非时变系统以最小能量到达理想状态的控制$u(t)$。

令线性非时变（LTI）系统为

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)$

其初始条件$x(t_{0})=x_{0}$。可以找到输入$u(t)$使得系统在时间$t_{1}$的状态为$x_{1}$，而且任何其他也可以让系统在时间$t_{1}$的的状态推进到$x_{1}$的输入 ${\bar {u}}(t)$，其需要的能量都会比最小能量控制的能量要大。

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\bar {u}}^{*}(t){\bar {u}}(t)dt\ \geq \ \int _{t_{0}}^{t_{1}}u^{*}(t)u(t)dt.$

要找到此一控制输入，先计算可控制性格拉姆矩阵

$W_{c}(t)=\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{*}e^{A^{*}(t-\tau )}d\tau .$

假设$W_{c}$为为非奇异矩阵（当且仅当系统有可控制性），最小能量控制为

$u(t)=-B^{*}e^{A^{*}(t_{1}-t)}W_{c}^{-1}(t_{1})[e^{A(t_{1}-t_{0})}x_{0}-x_{1}].$

代入其解中

$x(t)=e^{A(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

可以验证系统在时间$t_{1}$时的状态为$x_{1}$。

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