特征多项式

  提示：此条目页的主题不是特征方程式。

在线性代数中，对一个线性自同态（取定基即等价于方阵）可定义其特征多项式，此多项式包含该自同态的一些重要性质，例如行列式、迹数及特征值。

定义

设 $\mathbb {F}$ 为域（例如实数或复数域），对布于 $\mathbb {F}$ 上的 $n\times n$ 矩阵 $A$，定义其特征多项式为

$p_{A}(t):=\det(tI_{n}-A)\in \mathbb {F} [t]$

这是一个 $n$ 次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

性质

当 $A$ 为上三角矩阵（或下三角矩阵）时，$p_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(t-\lambda _{i})$，其中 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ 是主对角线上的元素。

对于二阶方阵，特征多项式能表为 $p_{A}(t)=t^{2}-\mathrm {tr} (A)t+\det(A)$。一般而言，若 $p_{A}(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}$，则 $a_{0}=(-1)^{n}\det(A)$，$a_{n-1}=-\mathrm {tr} (A)$。

此外：

• 特征多项式在基变更下不变：若存在可逆方阵 $C$ 使得 $B=C^{-1}AC$，则 $p_{A}(t)=p_{B}(t)$。
• 对任意两方阵 $A,B$，有 $p_{AB}(t)=p_{BA}(t)$。一般而言，若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵（设 $m<n$），则 $p_{AB}(t)=t^{m-n}p_{BA}(t)$
• 凯莱-哈密顿定理：$p_{A}(A)=0$。