费雪z分布

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Fisher's z

概率密度函数
参数	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ deg. of freedom
值域	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
概率密度函数	${\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!$
众数	$0$

Ronald Fisher

费雪z分布是F分布随机变数的自然对数0.5倍拉伸量的概率分布：

$z={\frac {1}{2}}\ln F$

首次由罗纳德·爱尔默·费雪于1924年在多伦多举办的国际数学家大会的投稿文章所描述。现今则经常以F分布取代之。

费雪z分布的概率密度函数与累积分布函数可由F分布于$x'=e^{2x}$求得。然而，其平均数与变异数并不能以相同转换方式求得。

该概率密度函数为

$f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}$

其中B为Β函数。

当自由度很大（$d_{1},d_{2}\rightarrow \infty$）时，该分布逼近期望值为 ${\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)$ 且变异数为 $\sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)$ 的正态分布。

相关分布

• 若$X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$则$e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)$（F分布）。
• 若$X\sim \operatorname {F} (n,m)$则${\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$。

外部链接

• MathWorld entry （页面存档备份，存于互联网档案馆）