在数学中,正整数的阶幂(英语:expofactorial 或 exponential factorial)是所有小于及等于该数的正整数的幂,记作 n$ ,例如:
。
阶幂是阶加和阶乘在幂运算上的类比。
前几项的阶幂数为
1 , 2 , 9 , 262144 , ... (OEIS数列A049384)
阶幂的增长率比阶乘,甚至过级阶乘还要快。到了5的阶幂,已经是
。
一般地说,对于正整数 n,
![{\displaystyle n\$=n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5754b58b5825b5c79813988edd946c05d0df487)
从上述公式中,可以推导出递推关系:
。
递推关系在阶幂函数中任意正整数 n 皆成立,例如:
![{\displaystyle {\begin{aligned}5\$&=5^{4\$}\\6\$&=6^{5\$}\\50\$&=50^{49\$}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17100b2fe7a6f620bac748e4550c4722b11e910)
非正整数的扩展[编辑]
阶幂原始的定义只在正整数上。不同于阶乘,阶幂的定义域从正整数推广到实数和复数的过程中,遇到了困难。
与迭代幂次相似,由于幂塔高度为 0 的数值并没有一个广为接受的良好定义,
并未定义。阶幂亦不像阶乘般,存在如伽玛函数一样的函数,作为其对实数以至复数的扩展。
双阶幂[编辑]
类比于双阶乘,能够为正整数 n 定义双阶幂(double expofactorial)。
当
是单数,
。
当
是双数,
。
多重阶幂[编辑]
双阶幂能进一步推广为多重阶幂(multiple expofactorial)。
被称为 n 的 m 重阶幂,定义为
。
例如,
。
超级阶幂[编辑]
类比于由尼尔·斯洛恩和西蒙·普劳夫定义的超级阶乘,我们能定义超级阶幂(superexpofactorial)为首 n 个阶幂的叠幂,记作
。
![{\displaystyle \operatorname {se} (n)=n\$_{}^{(n-1)\$^{{(n-2)\$}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3\$}^{{2\$}^{1\$}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eb2b40219150164a1538aaff0cdfba87fb506b)
例如,
前几个超级阶幂为
- 1 , 2 , 81, ...
- 第四个超级阶幂值约为
。
过级阶幂[编辑]
过级阶幂(hyperexpofactorial)写作
,其定义为
,
其中
表示迭代幂次。
例如,
前几项的过级阶幂为
- 1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...
- 第四个过级阶幂值约为
。
倒数阶幂[编辑]
倒数阶幂(reciprocal expofactorial)是指所有小于及等于该数的正整数之倒数的叠幂:
。
阶幂的和及积[编辑]
首 n 个阶幂的和为
。
首 n 个阶幂的积为
。
以上两个数值的增长率,要比阶幂本身还要快。
首 n 个阶幂倒数的和为
。
当 n 趋向无穷大,其值收敛于
。(OEIS数列A080219)
参考文献[编辑]
- Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity, Wiley.
- Jonathan Sondow, "Exponential Factorial (页面存档备份,存于互联网档案馆)" From Mathworld, a Wolfram Web resource
- Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.