在数学上,韦达定理(英语:Vieta's formulas),又称根与系数的关系,给出了多项式方程的根与系数的关系。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现,并因此得名。
韦达定理常用于代数领域。它的实用之处在于,能够不用把根直接解出来就能计算根之间的关系。
设
是一个一元 n 次实(或复)系数多项式,首项系数
,令 P 的 n 个根为
,则根
和系数
之间满足关系式
![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9cffcdee37df924589194475b7cc44a6b1f155)
等价的说,对任何 k = 1, 2, ..., n,系数比
是所有任取 k 个根的乘积的和的
倍,即
![{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f9f93dec62bac30399fdd3dbb5eac0ef0cd901)
其中
是要让所有的根的组合都恰好出现一次。
事实上,等号的左边被称作是初等对称多项式。
因为
是一元 n 次多项式
的 n 个根。于是有
![{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314590d505258c2e98edc95f285246849ba961b9)
根据乘法原理展开右式,比较等号两边的各项系数可得
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b6ae26d2402454d78f55b9f25a4e06591ddfb9)
上式等同于韦达定理的叙述。
n=2[编辑]
设
是一元二次多项式
的两根,则由
有
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7f5bcb50b9dfcdfc04e075deba4a2ac6f1746c)
这个特殊情况除之前提到的证明方法,也可以直接用求根公式即
,
证明:
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3ad4ce683eba93c17cf727fde7d13e5dbe4df0)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecce0a1be50fc04db23fdf405ab6ffc9048c0b8)
在这个情况下,韦达定理的逆定理同样成立:给定一个一元二次多项式
,如果有两个数
,满足
和
,则
就是多项式
的两根。
n=3[编辑]
设
是一元三次多项式
的三根,则
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18289a51a72c0e7678b1eb2bd355b7dd1a14ac2)
推广至环[编辑]
韦达定理经常使用在讨论整环 R 上多项式,换言之多项式系数都落在 R 上。此时,分数
在 R 中不见得有定义,除非
本身是可逆元。但
在 R 的分式环 K 中有定义,而根
则在 K 的代数闭包
中有定义。特别的,如果 R 是整数环
,则 K 是有理数域
,
是复数域
。
如果多项式 P(x) 定义在一般非整环的交换环上,则韦达定理可能在两个地方出错。第一,
可能不是零因子,因此不能出现在分母。第二 P(x) 可能不等于
。第一点算是显而易见,以下给出一个第二点的例子。在环
中,多项式
有四个根 1、3、5、7,根数比多项式的次数还多。此外,如果随便取两根出来,例如
,
,会发现
,但是有时候如果根取的刚好,却又可能会有
和
。
在 16 世纪,韦达发现了所有根都是正整数的版本,至于一般的版本 (根是实数),可能首次由法国数学家 Albert Girard 提出。Funkhouser 引用了18 世纪英国数学家查尔斯·赫顿的话写道[1]
...[Girard 是] 理解关于各次方项系数的和与积公式的一般性学说的第一人。他是找到关于将任意方程式的根的次方加总的规则的第一人。
参考资料[编辑]
- Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273
- Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4
- Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6