中心化子和正規化子

群論中，一個群 ${\textstyle G}$ 的子集$S$ 的中心化子和正規化子是 ${\textstyle G}$ 的子群。它們分別在${\textstyle S}$ 的元素和作為一個整體${\textstyle S}$ 有受限制的作用。這些子群給出了關於${\textstyle G}$ 的結構的有用資訊。我們可以倚靠這些群的資訊，在有限群的分類中，得出一些群$G$ 的一些內在訊息

定義

中心化子

令${\textstyle G}$ 為一個群, ${\textstyle S\subseteq G}$, 我們定義一個集合蒐集所有在$G$ 中與每一個 $S$ 中的元素 $s$可交換的元素，我們記做 $C_{G}(S)$；換句話說，${\textstyle C_{G}(S)=\{x\in G\;|\;\forall s\in S,\;xs=sx\}}$。若$H$ 為 $G$的子群，則$C_{H}(S)=C_{G}(S)\cap H$。

特別的，當 ${\textstyle S=\{a\}}$，我們會簡化 ${\textstyle C_{G}(S)=C_{G}(a)}$。

群的中心

群$G$的中心是${\textstyle C_{G}(G)}$，通常記作 $Z(G)$。一個群的中心既是正規子群也是交換群，而且有很多其它重要屬性。我們可以將a的中心化子視作最大的（用包含關係為序）G的子群H，滿足a屬於其中心Z(H)的條件。

正規化子

一個相關的概念是，S在G中的正規化子，記作N_G(S)或者N(S)。正規化子定義為N(S) = {x屬於G : xS = Sx}。同樣的是，N(S)可以視作G的子群。正規化子的名字來源於如果我們令<S>為一個由S生成的子群，則N(S)是最大的滿足包含<S>為其正規子群的G的子群。<S>在其中為正規子群的最小的G的子群稱為共軛閉包。

如果N_G(H) = H，則G的子群H稱為G的自正規化子群。

性質

若G是交換群，則任何G的子集的中心化子和正規化子就是G的全部；特別是，一個群可交換，若且唯若Z(G) = G。

若a和b是G的任意元素，則a在C(b)中，若且唯若b在C(a)中，這有若且唯若a和b可交換。 若S = {a}則N(S) = C(S) = C(a)。

C(S)總是N(S)的正規子群：若c屬於C(S)而n屬於N(S)，我們要證明n ⁻¹cn屬於C(S)。為此，取s屬於S並令t = nsn ⁻¹。則t屬於S，所以ct = tc。注意到ns = tn；以及n ⁻¹t = sn ⁻¹。我們有

(n ⁻¹cn)s = (n ⁻¹c)tn = (n ⁻¹(tc)n = (sn ⁻¹)cn = s(n ⁻¹cn)

這也就是要證明的命題。

若H是G的子群，則N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同構於Aut(H)（H的自同構群）的子群。

因為N_G(G) = G，N/C定理也意味著G/Z(G)同構於Inn(G)（由所有G的內自同構組成的Aut(G)的子群）。

如果我們通過T(x)(g) = T_x(g) = xgx ⁻¹定義群同態 T : G → Inn(G)，則我們可以用Inn("G")在G上的群作用來表述N(S)和C(S)：S在Inn(G)中的定點子群就是T(N(S))，而Inn(G)中固定S的子群就是T（C(S)）。

共軛類方程式

若G為有限群，考慮G共軛到自身的群作用，並應用軌道-穩定點定理，

G的核為$|\ker \rho |=|Z(G)|$

G的軌道為$|G\cdot x_{i}|=|G:C_{G}(x_{i})|$

類方程式：

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i}|G:C_{G}(x_{i})|$