平面剛體運動

平面剛體運動，是一種在平面上進行的幾何變換.反射變換和旋轉變換等幾何變換都有一個共同特點，即所謂「保距性」.也就是說，對於平面內任意兩點P、Q，在反射（或某種幾何變換）下對應的點是P'和Q'，那麼P'到Q'的距離，就等於PQ的距離.借用物理學上的剛體一詞，我們把這種變換叫做：平面剛體運動.

定義[編輯]

設α是一個平面，映射

m:平面α→平面α

是一個一一映射，若m保持平面α內任意兩點間的距離不變，則稱m是一個平面剛體運動.^[1]

下面我們對上述定義做一個簡單解釋.任意一個平面剛體運動m:平面α→平面α都滿足以下4條：

對於平面α內的任意一點P，在平面α內存在唯一的一點P'與之對應，記作P'=m(P)，P'叫做P在m作用下的象；
任取平面α內的一點P'，存在平面α內的唯一一點P，使得P'是P在變換m作用下的象；
任取平面α內的兩點P₁、P₂，如果P₁≠P₂，那麼它們的象也是不同的，即：m(P₁)≠m(P₂);
任取平面α內的兩點P、Q，它們在m下的象是P'和Q'，即：P'=m(P)，Q'=m(Q)，那麼|P'Q'|=|PQ|，即點P'，Q'之間的距離與點P，Q之間的距離相等.

平移、旋轉、反射是三種最常見的平面剛體運動.^[2]

保持距離不變是m的一個很強的性質。通過這一性質我們可以證明：只要知道不共線的三點A，B，C在m下的象A'，B'，C'，m就完全確定下來了

平面剛體運動

m:平面α→平面α

將平面α內的直線映射成直線，射線映射成射線，線段映射成等長的線段。

證明：令l是平面α內的任意一條直線，設m把l上所有的點映到點集l'.在l上任取兩點A，B，設m把它們分別映射到A'，B'.下面證明l'是過A'，B'的直線.在AB上任取一點C，設m把點C映射到點C'.

當點C在AB之間時，由平面剛體運動的定義得：|A'C'|+|CB|=|AC|+|CB|=|AB|=|A'B'|，所以點C'在線段A'B'上.
當點C在AB的延長線上時，我們有：|A'B'|+|B'C'|=|AB|+|BC|=|AC|=|A'C'|，所以B'在線段A'C'上，即點C'在線段A'B'的延長線上.
同理可證，當點C在BA的延長線上時，點C'在線段B'A'的延長線上.

綜上所述，由點A，B，C的任意性可知，l'是一條直線

證畢.^[3]

三角形在平面剛體運動的作用下，形狀和大小都保持不變.

證明：設△ABC是平面α內的任意一個三角形，由已證明題可知，平面剛體運動

m:平面α→平面α

把線段AB，BC，AC依次映射成線段A'B'，B'C'，A'C'，而且AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'.

由於AB+BC>AC，故A'B'+B'C'>A'C'，所以AB，BC，CA，構成了一個以A，B，C為頂點的三角形，而且△ABC與△ABC全等.

證畢.

用類似的方法可證得：在平面剛體運動m的作用下，正n邊形的大小和形狀都保持不變.

設

m:平面α→平面α

是一個平面剛體運動，若在平面α內至少存在一個點O，點O在m的作用下保持不動，即m(O)=O，我們稱m為有不動點的平面剛體運動.可以證明：只有反射變換和旋轉變換是有不動點的平面剛體變換.^[4]