此條目頁的主題是數學分析中關於傅立葉級數的定理。關於數論中的
狄利克雷定理 ，請見「
狄利克雷定理 」。
在數學分析 中，狄利克雷定理 （或若爾當—狄利克雷定理 ,狄利克雷條件 ）是關於傅立葉級數 逐點收斂 的一個結果。這個定理的最初版本是由德國 科學家 狄利克雷 在公元1829年證明的[1] 積分理論 ，狄利克雷的證明只能適用於足夠規則的函數（除了在有限點以外都單調 的函數）。
定理的推廣版本則是由法國 數學家卡米爾·若爾當 在1881年的證明的，適用於所有局部有界變差 函數[2]
定理的敘述 [ 編輯 ] 設
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
周期性 的局部可積函數 ，其周期為
2
π
{\displaystyle 2\pi }
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
函數
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
左極限和右極限 ，分別記為
f
(
x
0
+
)
{\displaystyle f(x_{0}^{+})}
f
(
x
0
−
)
{\displaystyle f(x_{0}^{-})}
存在正實數：
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
∫
0
α
|
f
(
x
0
+
t
)
−
f
(
x
0
+
)
|
t
d
t
,
∫
0
α
|
f
(
x
0
−
t
)
−
f
(
x
0
−
)
|
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t}
那麼，函數
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
lim
n
(
S
n
f
(
x
0
)
)
=
1
2
(
f
(
x
0
+
)
+
f
(
x
0
−
)
)
{\displaystyle \lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))}
定理成立的一個特例是當函數
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
左導數和右導數 的時候，又或者是當函數是分段
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
光滑函數 ）的時候。
定理的證明是基於以下事實：傅立葉函數可以通過卷積 以及擁有良好性質的三角多項式 ：狄利克雷核 來計算。
D
n
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
e
i
k
x
=
sin
(
(
n
+
1
2
)
x
)
sin
(
x
/
2
)
,
{\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}
S
n
(
f
)
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
D
n
(
x
−
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
π
π
D
n
(
t
)
f
(
x
−
t
)
d
t
{\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt}
這裡使用的是狄利克雷核的第二種形式：
S
n
(
f
)
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}
這種寫法接近於使用黎曼-勒貝格定理 所需的條件，唯一需要考慮的地方是函數
f
(
x
−
t
)
sin
(
t
/
2
)
{\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}}
0 附近並不一定可積。但是由於：
f
~
(
x
)
=
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
2
{\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}}
存在，可以考慮將區間
[
−
π
,
0
)
{\displaystyle [-\pi ,0)}
u
=
−
t
{\displaystyle u=-t}
S
n
(
f
)
(
x
)
{\displaystyle S_{n}(f)(x)}
S
n
(
f
)
(
x
)
=
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}
因此：
S
n
(
f
)
(
x
)
−
f
~
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
−
1
2
(
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
)
{\displaystyle S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)}
而由於狄利克雷核在區間
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
1
=
1
2
π
∫
−
π
π
D
n
(
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
=
2
⋅
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
{\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}
1
2
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}
因此：
S
n
(
f
)
(
x
)
−
f
~
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
−
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
t
2
(
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
)
d
t
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
+
)
−
f
(
x
−
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}}
由條件二，以上的積分中可以使用黎曼-勒貝格定理，因此可以對兩邊求極限，得到：
lim
n
→
∞
S
n
(
f
)
(
x
)
=
f
~
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)}
注釋與參考 [ 編輯 ]
^ 狄利克雷 , Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données , Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169^ 若爾當, Sur la série de Fourier , C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230
參考書籍 [ 編輯 ] （英文） Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms ISBN 9780521597715 （法文） Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes ISBN 284225001X 
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
