四維頻率

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，${x}^{\mu }\,\!$或${x}_{\mu }\,\!$。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，$(x)^{2}\,\!$表示$x\,\!$平方；而${x}^{2}\,\!$是${x}^{\mu }\,\!$的第二個分量。

在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 $f^{\mu }$ 以公式定義為

$f^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f\mathbf {n} \right)$ ；

其中，$f$ 是電磁波的頻率，$\mathbf {n}$ 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

${f}^{\mu }{f}_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0$ 。

類似地，四維角頻率 $\omega ^{\mu }$ 以公式定義為

$\omega ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega \mathbf {n} \right)$ ；

其中，$\omega$ 是電磁波的角頻率。

顯然地，

$\omega ^{\mu }=2\pi f^{\mu }$ 。

四維波向量 ${k}^{\mu }$ 與四維角頻率有密切的關係，定義為

${k}^{\mu }=\left(k,\,\mathbf {k} \right)$ ；

其中，$\mathbf {k}$ 是電磁波的波向量。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 $diag(1,-1,-1,-1)$ ，這是参考了約翰·傑克森（John D. Jackson）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。

勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 ${\mathcal {S}}$ 、${\overline {\mathcal {S}}}$ ；相對於參考系 ${\mathcal {S}}$ ，參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 以速度 $\mathbf {v}$ 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ 是

$\Lambda _{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta _{x}\,\gamma &-\beta _{y}\,\gamma &-\beta _{z}\,\gamma \\-\beta _{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}$ ；

其中，$\gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 是勞侖茲因子，$\beta ={\frac {v}{c}}$ 是貝他因子，$\beta _{x}$ 、$\beta _{y}$ 、$\beta _{z}$ 分別是參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 對於參考系 ${\mathcal {S}}$ 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 $v_{x}$ 、$v_{y}$ 、$v_{z}$ 的貝他因子。

設定一個朝著 ${\hat {\mathbf {k} }}$ 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 ${\mathcal {S}}$ ，這平面電磁波以公式表達為

$\mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、

$\mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ ；

其中，$\mathbf {E}$ 、$\mathbf {B}$ 分別是電磁波的電場、磁場，$E_{0}$ 、$B_{0}$ 分別是其波幅，$k^{\mu }$ 是四維波向量，$x_{\mu }=(ct,-\mathbf {x} )$ 是四維位置，$\mathbf {x}$ 是位置，${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ 分別垂直於 ${\hat {\mathbf {k} }}$ ，而且 ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 。

那麼，對於參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ ，這平面電磁波以公式表達為

${\overline {\mathbf {E} }}={\overline {E}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、

${\overline {\mathbf {B} }}={\overline {B}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ 。

四維波向量 ${\overline {k}}^{\mu }$ 與 ${k}^{\mu }$ 之間的關係為

${\overline {k}}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }$ 。

經過一番運算，可以求得

${\overline {k}}={\overline {k}}^{0}=\gamma (k-\beta _{x}k_{x}-\beta _{y}k_{y}-\beta _{z}k_{z})=k^{\mu }v_{\mu }/c$ ；

其中，$v_{\mu }=(\gamma c,\,-\gamma \mathbf {v} )$ 是參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 相對於參考系 ${\mathcal {S}}$ 的四維速度，$\mathbf {v}$ 是參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 相對於參考系 ${\mathcal {S}}$ 的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為

$f^{\mu }=ck^{\mu }/2\pi$ 。

所以，

${\overline {f}}={\overline {f}}^{0}=f^{\mu }v_{\mu }/c$ 。

這也是參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱

• 四維向量
• 電磁張量

參考文獻

• Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84-90. ISBN 1852334266. 
• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)