奥斯特洛夫斯基定理

奥斯特洛夫斯基定理是一个关于有理数域绝对赋值的定理。于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明。该定理说明，任何非平凡的有理数Q的绝对赋值要么等价于通常实数域的绝对赋值，要么等价于p进数的绝对赋值。

定义[编辑]

定义两个绝对赋值 $|\cdot |$ 和 $|\cdot |_{\ast }$ 是等价的，如果存在一个实数c>0，使得：

\forall x\in \mathbb {K} ,\;\;|x|_{\ast }=|x|^{c}.

这是比两绝对赋值结构的拓扑同胚的更严格的定义。

任何域的平凡绝对赋值被定义为：

|x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\1,&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}

有理数 $\mathbb {Q}$ 的实绝对赋值是正规实绝对赋值，定义为：

|x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geqslant 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}

有时下标 $\infty$ 被写成下标1。

给定素数 $p$ ， $p$ 进赋值的定义如下：

任何非零的有理数 $x$ 可以唯一写成 $x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}$ 。其中整数 $a$ 、 $b$ 和 $p$ 两两互质。 $n$ 是整数。 $x$ 的 $p$ 进赋值为：

|x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\p^{-n},&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}

另一个奥斯特洛夫斯基定理指出，任何阿基米德的绝对赋值完备域（从代数结构和拓撲结构方面）同构于实数域或复数域。这有时也称为奥斯特洛夫斯基定理。

Gerald J. Janusz. Algebraic Number Fields 2nd edition. American Mathematical Society. 1996, 1997. ISBN 0-8218-0429-4. 请检查|date=中的日期值 (帮助)
Nathan Jacobson. Basic algebra II 2nd ed. W H Freeman. 1989. ISBN 0-7167-1933-9.
Alexander Ostrowski. Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy). Acta Mathematica 2nd ed. 1918, 41 (1): 271–284. ISSN 0001-5962. doi:10.1007/BF02422947. ^{[永久失效連結]}