微分方程的級數解

在數學中，冪級數法用於求某些微分方程的冪級數解。 通常這樣的解假設一個具有未知係數的冪級數，然後將該解代入微分方程以找到係數的遞推關係。

方法

考慮二階線性微分方程

$$a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.$$

假設對於所有 z，a2 都不為零。 然後我們可以劃分整個得到

$$f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.$$

進一步假設 a1/a2 和 a0/a2 是解析函數。

冪級數方法要求構建冪級數解

$$f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}.$$

如果對於某些 z，a2 為零，則 Frobenius 方法是該方法的一種變體，適用於處理所謂的正則特異點。 該方法類似地適用於高階方程和系統。