拓扑学家的正弦曲线

当$x$从右侧接近零时，${\tfrac {1}{x}}$的变化率增大。因此，越接近图的左侧正弦波的频率越高。

在被称为拓扑的数学分支中，拓扑学家的正弦曲线或华沙正弦曲线是一个拓扑空间。它的几个有趣的性质使其成为重要的教科书示例。

它可以定义为 $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ 在半开区间 $\left(0,1\right]$ 上的函数图像添加上原点后从欧几里德平面的拓扑导出的子空间拓扑：

$T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.$

性质

拓扑学家的正弦曲线$T$是连通的，但既不是局部连通的，也不是路径连通的。这是因为它包含原点$(0,0)$，但无法将函数图像连接到原点以形成路径。

此空间$T$可以是某个局部紧空间的连续像（比如，令$V$为空间 $\left\{1\right\}\cup \left(0,1\right]$ ，则可以使用映射$f$，其中$f\left(1\right)=(0,0)$并且当$x>0$时$f\left(x\right)=\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)$，来将$V$连续映射到$T$)，但$T$本身并不是局部紧的。

变种

拓扑学家的正弦曲线的两种变体还有其他有趣的特性。

封闭的拓扑学家的正弦曲线可以通过在拓扑学家的正弦曲线上添加其极限点集 $\{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}$ 来定义;一些文献将拓扑学家的正弦曲线本身定义为这个封闭版本，因为他们更喜欢用使用术语“封闭的拓扑学家的正弦曲线”来指代另一条曲线。 根据海涅-博雷尔定理，这个空间是封闭的、有界的、紧的，但与拓扑学家的正弦曲线具有相似的性质：它也是连通的，但既不是局部连通的，也不是路径连通的。

扩展的拓扑学家的正弦曲线可以通过在封闭的拓扑学家的正弦曲线上添加点集$\{(x,1)\mid x\in [0,1]\}$ 来定义。它是道路联通的但不是局部联通的。

参见

• 拓扑列表
• 华沙圈

参考

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Mineola, NY: Dover Publications, Inc.: 137–138, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863 
• 埃里克·韦斯坦因. Topologist's Sine Curve. MathWorld.