輸入-狀態穩定性

輸入-狀態穩定性（Input-to-state stability）簡稱ISS，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。

輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由Eduardo Sontag在1989年開始使用。

定義

考慮非時變常微分方程，其形式如下

${\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},$

(1)

其中$u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}$是勒贝格测度有本質確界的外部輸入，且 $f$是利普希茨連續函數。這可以確保系統(1)有唯一绝对连续的解。

若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的比較函數分類。令${\mathcal {K}}$（K類函數）為連續遞增函數$\gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}$，且$\gamma (0)=0$形成的集合，令${\mathcal {K}}_{\infty }$為無界函數$\gamma \in {\mathcal {K}}$，再令$\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$（KL類函數）為若$\beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}$在所有的$t\geq 0$都成立，而且針對所有的$r>0$，$\beta (r,\cdot )$連續，且嚴格遞減至0。

系統(1)稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統

${\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},$

(WithoutInputs)

是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在 $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$使得針對所有的初值 $x_{0}$以及任意時間$t\geq 0$，以下有關(WithoutInputs)解的估計都有效＞：

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).$

(GAS-Estimate)

系統(1)稱為輸入-狀態穩定性（ISS）若存在函數 $\gamma \in {\mathcal {K}}$且$\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$使得針對所有初值$x_{0}$，所有可行的輸入$u$以及任意時間$t\geq 0$，以下的不等式都成立

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$

(2)

上述不等式中的函數$\gamma$稱為增益（gain）。

很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。

也可以證明若在$t\to \infty$時，$|u(t)|\to 0$，則在$t\to \infty$時，$|x(t)|\to 0$。

輸入-狀態穩定性質的特點

為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統(1)為全域穩定（GS），若存在 $\gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}$，使得對於$\forall u$、$\forall t\geq 0$及$\forall x_{0}$，下式都成立

$|x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$

(GS)

系統(1)滿足漸近增益（AG）特性，若存在$\gamma \in {\mathcal {K}}$，使得對於$\forall x_{0}$, $\forall u$，下式都成立

$\limsup _{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|_{\infty }).$

(AG)

以下的描述都是等效的 ：

1. (1)有ISS（輸入-狀態穩定性）
2. (1)是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
3. (1)是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性。

ISS-李亞普諾夫函數

ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數$V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}$是系統(1)的ISS-李亞普諾夫函數，若$\exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }$, $\chi \in {\mathcal {K}}$，以及正定函數 $\alpha$，使得下式成立：

$\psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}$

以及 $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}$，下式成立：

$|x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),$

函數$\chi$稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。

若系統(1)沒有輸入（也就是$u\equiv 0$），則最後一式可以簡化如下

$\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,$

因此$V$也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統(1)為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數。

例子

考慮一系統

${\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.$

定義候選的ISS-李亞普諾夫函數$V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$如下 $V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

${\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.$

選擇李亞普諾夫增益$\chi$為

$\chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r$.

可以得到在$x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)$的條件下，下式成立

${\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.$

可得$V$是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為$\chi$。

其他相關概念

積分輸入-狀態穩定性（iISS）

系統(1)為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數$\alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}$及$\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$，使得針對所有初值$x_{0}$，所有可行的輸入$u$及任意時間$t\geq 0$下，以下不等式都會成立：

$\alpha (|x(t)|)\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}\gamma (|u(s)|)ds.$

(3)

積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有$r\geq 0$，令$\alpha (r)=\gamma (r)=r$，且令$u\equiv c=const$，則估計(3)會變成以下的形式

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,$

隨著$t\to \infty$，等號右側會趨近無限大 $t\to \infty$。

局部輸入-狀態穩定性（LISS）

局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統(1)為局部輸入-狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數$\rho >0$、函數 $\gamma \in {\mathcal {K}}$及$\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$使得：針對所有$x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho$，所有可行的輸入$u:\|u\|_{\infty }\leq \rho$及任意時間$t\geq 0$，下式都成立

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$

(4)

可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性。

其他的穩定性

也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）等。

時滯系統的ISS

考慮非時變的时滞微分方程

${\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.$

(TDS)

其中$x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})$是系統(TDS)在時間$t$的狀態，$x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]$及$f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}$需滿足特定假設，以確保系統(TDS)的解存在且唯一。

系統(TDS)為ISS，若且唯若存在函數$\beta \in {\mathcal {KL}}$及$\gamma \in {\mathcal {K}}$，使得針對所有$\xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})$，所有可行的輸入，在任意時間$t\in \mathbb {R} _{+}$下，下式都成立

$\left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|_{\infty }).$

(ISS-TDS)

在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理。

其他類型系統的輸入-狀態穩定性

以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統、混合系統。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法。