交集

數學上，兩個集合$A$和$B$的交集是含有所有既屬於$A$又屬於$B$的元素，而沒有其他元素的集合。

有限交集

A和$B$的交集

交集是由公理化集合論的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 $A\cap B$ ：

$(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}$

也就是直觀上：

$A$和$B$的交集寫作「$A\cap B$」，「對所有 $x$ ， $x\in A\cap B$ 等價於 $x\in A$ 且 $x\in B$」

例如：集合$\{1,2,3\}$和$\{2,3,4\}$的交集為$\{2,3\}$。數字$9$不屬於素數集合$\{2,3,5,7,11,\ldots \}$和奇數集合$\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}$的交集。

若兩個集合$A$和$B$的交集為空，就是說它們彼此沒有相同的元素，則他們不相交，寫作：$A\cap B=\varnothing$。例如集合$\{1,2\}$和$\{3,4\}$不相交，寫作$\{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing$。

更一般的，交集運算可以對多個集合同時進行。例如，集合$A,B$，$C$和$D$的交集為$A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))$。交集運算滿足結合律。即：

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

任意交集

以上定義可根據無限併集和補集來推廣到任意集合的交集。

取一個集合 ${\mathcal {M}}$ ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合：

${\bar {\mathcal {M}}}:=\left\{A\,|\,(\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})\right\}$。

也就是直觀上蒐集所有 $M^{c}$ 的集合， 這樣的話有：

$x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]$

根據一階邏輯的定理(Ce)，也就是：

$x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]$

但根據一階邏輯的等式相關定理，下式：

$(\exists A)(A=M^{c})$

顯然是個定理（也就是直觀上為真），故：

$x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M\in {\mathcal {M}})(x\notin M)$

換句話說：

$x\in {\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}\Leftrightarrow (\forall M\in {\mathcal {M}})(x\in M)$

那可以做如下的符號定義：

$\bigcap {\mathcal {M}}:={\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}$

稱為 ${\mathcal {M}}$ 的任意交集或無限交集。也就是直觀上「對所有 $x$ ， $x\in \bigcap {\mathcal {M}}$ 等價於對任何 ${\mathcal {M}}$ 的下屬集合 $M$ ，都有 $x\in M$」

例如：

$A\cap B=\bigcap \{A,\,B\}$

類似於無限併集，無限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符號記為

$\bigcap _{A\in {\mathcal {M}}}A$。

但大多數人會假設指標集 $I$ 的存在，換句話說

若 $I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}$ 則 $\bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}$

在指標集 $I$ 是自然數系 $\mathbb {N}$ 的情況下，更可以仿無窮級數來表示，也就是說：

若 $\mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}$ 則 $\bigcap _{i=1}^{\infty }A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}$

也可以更粗略直觀的將 $\bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)$ 寫作$A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots$。

參見

• 樸素集合論
• 併集
• 補集
• 對稱差