卜瓦松二項分布
Poisson binomial參數 |
(試驗數)
(各試驗的成功概率) |
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值域 |
k ∈ { 0, …, n } |
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機率質量函數 |
![{\displaystyle \sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d09d8a7b2bed4ad26ce3af7c67f010ee6c2263) |
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累積分布函數 |
![{\displaystyle \sum \limits _{l=0}^{k}\sum \limits _{A\in F_{l}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116de8ccb7abd9d7bf4cf11d673538d811b41126) |
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期望值 |
![{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850317c9fc543cf1b6e1945f3f462279ea7cafe2) |
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變異數 |
![{\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152c6768e65350302095a10583037733f8f68974) |
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偏度 |
![{\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-2p_{i})(1-p_{i})p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b2eceb725f85cec70d4c170d6e44bd30f68ae7) |
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峰度 |
![{\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{4}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-6(1-p_{i})p_{i})(1-p_{i})p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df08bb938e0af8c3c379d30e4701d3839f76d8f) |
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動差母函數 |
![{\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffbb4f997332691520d6a1d6f55d3ee3795bdaf) |
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特徵函數 |
![{\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{it})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77182ad8b758b268bbf41b0ff21598b9c288d7a1) |
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機率母函數 |
![{\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c84225aa7d733786ca2fa43eac63513ed47941) |
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在機率論和統計學中,卜瓦松二項分布是一個基於獨立伯努利試驗之和的離散機率分布。這一概念以西梅翁·德尼·泊松的名字命名。
換句話說,它是成功概率分別為
的n次獨立伯努利試驗中,成功次數的機率分布。普通二項分布是卜瓦松二項分布在所有成功機率相同(即
)時的特例。
機率質量函數[編輯]
n次試驗中有k次成功的機率可以寫為以下總和[1]
![{\displaystyle \Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43bd8849d43ca7f5a945a034aae55f9ab2d1030)
其中
是 {1,2,3,..., n } 的全體k元子集的集合。例如,如果n = 3,那麼
。
是
的補集,也就是
。
將包含
個元素,因此上述總和在實務中是很難計算的,除非試驗次數n很小(例如,如果n = 30,
包含超過1020個元素)。然而,還有其他更有效的方法可以計算
。
只要成功機率都不等於 1,就可以使用遞歸公式計算出k次成功的機率:[2][3]
![{\displaystyle \Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=k-i)T(i)&k>0\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2065bb9d115ae58f5f011057e32a214d65bbd2cd)
其中
![{\displaystyle T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b97ddef228acb95cffb1bf462e594cddb6daac5)
遞歸公式在數值上不穩定,在
約大於20時應避免使用。另一種方法是使用分治算法:假設
是2的冪,並以
表示成功概率為
的卜瓦松二項分布,
表示卷積,則
。
另一種可能性是使用離散傅立葉變換。 [4]
![{\displaystyle \Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{l=0}^{n}C^{-lk}\prod \limits _{m=1}^{n}\left(1+(C^{l}-1)p_{m}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85df0d0c083987fe19c1665bfbd0e4c782a06aa0)
其中
,
。
Chen和Liu在「卜瓦松二項式和條件伯努利分布的統計應用」中描述了其他方法。 [5]
均值和方差[編輯]
由於卜瓦松二項式分布變數是n個獨立伯努利分布變數的總和,因此其均值和方差將是n個伯努利分布的均值和方差之和:
![{\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002674b9c088bc51faf4dd07619642545fd126b1)
![{\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152c6768e65350302095a10583037733f8f68974)
當平均值(
)和次數(n)為定值,且所有成功機率相等時,我們會得到二項式分布,變異數此時最大。當平均值固定時,變異數的上界為具有相同均值的卜瓦松分布的變異數,該上界在n趨於無窮大時可以漸近取得。[來源請求]
卜瓦松二項式分佈的熵沒有簡單的公式,但熵的上限是具有相同數字參數和相同均值的二項式分佈的熵。因此,熵也不大於相同均值的卜瓦松分佈的熵。
謝普-奧爾金凹性猜想由勞倫斯·謝普和英格拉姆·奧爾金於1981年提出,指出卜瓦松二項式分佈的熵是成功機率
的凹函數。這個猜想由 Erwan Hillion 和 Oliver Johnson 於2015年證明。1981年同一篇論文亦提出謝普-奧爾金單調性猜想:若
,則熵對
為單調遞增。這個猜想也被 Hillion 和 Johnson 於 2019 年證明。
參考資料[編輯]
- ^ Wang, Y. H. On the number of successes in independent trials (PDF). Statistica Sinica. 1993, 3 (2): 295–312 [2023-07-29]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03).
- ^
Shah, B. K. On the distribution of the sum of independent integer valued random variables. American Statistician. 1994, 27 (3): 123–124. JSTOR 2683639.
- ^ Chen, X. H.; A. P. Dempster; J. S. Liu. Weighted finite population sampling to maximize entropy (PDF). Biometrika. 1994, 81 (3): 457 [2023-07-29]. doi:10.1093/biomet/81.3.457. (原始內容存檔 (PDF)於2022-01-07).
- ^
Fernandez, M.; S. Williams. Closed-Form Expression for the Poisson-Binomial Probability Density Function. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2010, 46 (2): 803–817. Bibcode:2010ITAES..46..803F. S2CID 1456258. doi:10.1109/TAES.2010.5461658.
- ^ Chen, S. X.; J. S. Liu. Statistical Applications of the Poisson-Binomial and conditional Bernoulli distributions. Statistica Sinica. 1997, 7: 875–892.