魏爾斯特拉斯預備定理

在數學中，魏爾斯特拉斯預備定理是用於處理一個多變量的解析函數在某個給定點 $P$ 附近性質的一個工具。

定理內容

假設 $f$ 是定義在一個區域 $D\subset \mathbb {C} ^{m}$ 內的全純函數，若 $f$ 於點 $P$ 的某個鄰域 $\Omega$ 內不恆為零，假設在某一組基下，$P$ 的坐標為 $(p_{1},\cdots ,p_{n})$，那麼我們有：

• 存在 $\mathbb {C} ^{m}$ 的這樣一組基，對 $p_{m}$ 任意鄰域 $B_{\delta }(p_{m})$，使得 $\forall t\in B_{\delta }(p_{m})$，$f(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m-1},t)\not \equiv 0$
• 對於以上的基，可以找到一個全純函數 $u$，使得

$$f\sim ug,g=(t)^{n}+\sum _{k=1}^{n}c_{k}(p_{1},\cdots ,p_{m-1})t^{n-k}$$

且 $c_{k}$ 解析.

• 而假如存在某個全純的 $h$ 與多項式 $g'$，使得 $f\sim hg'$，那麼 $g,g'$ 作為多項式相伴.