埃拉托斯特尼篩法

埃拉托斯特尼篩法（古希臘語：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英語：sieve of Eratosthenes），簡稱埃氏篩，是一種用來生成（英語：Generating primes）質數的篩法，得名於古希臘數學家埃拉托斯特尼。其基本步驟是從最小的質數2開始，將該質數的所有倍數標記成合數，而下一個尚未被標記的最小自然數3即是下一個質數。如此重複這一過程，將各個質數的倍數標記為合數並找出下一個質數，最終便可找出一定範圍內所有質數。

埃拉托斯特尼篩法可能在埃拉托斯特尼的時代之前就已經為人所知^[1]^:14，並記載於另一位古希臘數學家尼科馬庫斯的《算術概論（英語：Introduction to Arithmetic）》中，儘管該著作中的這一篩法是從3開始，從奇數中依次篩去奇數的倍數，而非從自然數中篩去質數的倍數^[2]^:242-243。

使用埃拉托斯特尼篩法找出120以內的所有質數。由於11²=121>120，當11成為最小的未標記整數時，尚未標記的所有數皆可確認為質數。請注意到在標記時直接從每個質數的平方開始。

運用與示例[編輯]

埃拉托斯特尼篩法通過不斷地標記當前質數的所有倍數為合數，從而取得最小的未標記整數為下一個質數。不過，在實際使用此篩法尋找一個範圍內的質數時，不需要檢查範圍內所有整數，也不需要對每個質數都標記其所有的倍數。

尋找 $N$ 以內的質數時，若找到了一個大於 ${\sqrt {N}}$ 的質數，則剩餘的所有尚未標記的數也都是質數。
證明：若這些尚未標記的數中有任意一個為合數，設之為 $m$ ，則 $m$ 必定是除1與自身以外的兩個因數的乘積。但既然 $m$ 尚未被標記，則所有小於等於 ${\sqrt {N}}$ 的數均不是 $m$ 的因數。故這兩個因數必然都大於 ${\sqrt {N}}$ ，則 $m$ 不可能在 $N$ 以內^[3]^:103-104^[4]^:4。
標記某一質數 $p$ 的倍數時，不需要每次皆從 $2p,3p,\ldots$ 開始，而可直接從 $p^{2}$ 開始標記。
證明：所有較 $p^{2}$ 更小的 $p$ 的倍數必然擁有一個更小的質數為其因數，故在標記之前的質數的倍數時它們已經被標記過了^[5]。

若要找出25以內的所有質數，使用如上述改進過的埃拉托斯特尼篩法的具體過程如下：

列出2以後所有數：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
記錄質數2，由2²=4開始划去2的倍數：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
記錄下一質數3，由3²=9開始划去3的倍數：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
記錄下一質數5，由5²=25開始划去5的倍數：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
下一質數為7，而7²=49>25，故剩餘所有未標記的數皆為質數：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

由此得到25內的質數為2，3，5，7，11，13，17，19，23。

以上的算法可用以下虛擬碼表示：

輸入：整數n > 1
 
設A為布爾值陣列，指標是2至n的整數，
初始時全部設成true。
 
 for i = 2, 3, 4, ..., 不超過 ${\sqrt {n}}$ ：
  if A[i]為true：
    for j = i², i²+i, i²+2i, i²+3i, ..., 不超過n：
      A[j] := false
 
輸出：使A[i]為true的所有i。

埃拉托斯特尼篩法的時間複雜度為 $O(n\log(\log n))$ ；相比之下，若是通過對範圍內每個整數進行試除法來找出範圍內的質數，則其時間複雜度為 $O(n{\sqrt {n}})$ ^[1]^:13-14^[5]。

程式碼[編輯]

Python 3.6-3.10[編輯]

def eratosthenes(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    return [x for x in range(2, n + 1) if is_prime[x]]
print(eratosthenes(120))

C語言[編輯]

int prime[100005];
bool is_prime[1000005];

int eratosthenes(int n) {
    int p = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        is_prime[i] = true;
    }
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            prime[p++] = i;
            if (1ll * i * i <= n) {
                for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                    is_prime[j] = 0;
                }
            }
        }
    }
    return p;
}

C語言新版

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/* N: positive integer
   verbose: 1 -- print all prime numbers < N, 0 -- no print
   return total number of prime numbers < N. 
   return -1 when there is not enough memory.
*/
int eratosthenesSieve(unsigned long long int N, int verbose) {
  // prime numbers are positive, better to use largest unsiged integer
  unsigned long long int i, j, total; // total: number of prime numbers < N
  _Bool *a = malloc(sizeof(_Bool) * N);

  if (a == NULL) {
    printf("No enough memory.\n");
    return -1;
  }
  
  /* a[i] equals 1: i is prime number.
     a[i] equals 0: i is not prime number.
     From beginning, set i as prime number. Later filter out non-prime numbers
  */
  for (i = 2; i < N; i++) {
    a[i] = 1; 
  }

  // mark multiples(<N) of i as non-prime numbers
  for (i = 2; i < N; i++) {
    if (a[i]) { // a[i] is prime number at this point
      for (j = i; j < (N / i) + 1; j++) {
	/* mark all multiple of 2 * 2, 2 * 3, as non-prime numbers;
	   do the same for 3,4,5,... 2*3 is filter out when i is 2
	   so when i is 3, we only start at 3 * 3
	*/
	a[i * j] = 0;
      }
    }
  }

  // count total. print prime numbers < N if needed.
  total = 0;
  for (i = 2; i < N; i++) {
    if (a[i]) { // i is prime number
      if (verbose) {
	printf("%llu\n", i);
      }
      total += 1;
    }
  }

  return total;
}

int main() {
  unsigned long long int a1 = 0, a2 = 0, N = 10000000;
  
  a1 = eratosthenesSieve(N, 1); // print the prime numbers
  printf("Total of prime numbers less than %llu is : %llu\n", N, a1);
  
  a2 = eratosthenesSieve(N, 0); // not print the prime numbers
  printf("Total of prime numbers less than %llu is : %llu\n", N, a2);
  
  return 0;
}

C++[編輯]

#include <vector>

auto eratosthenes(int upperbound) {
  std::vector<bool> flag(upperbound + 1, true);
  flag[0] = flag[1] = false; //exclude 0 and 1
  for (int i = 2; i * i <= upperbound; ++i) {
    if (flag[i]) {
      for (int j = i * i; j <= upperbound; j += i)
        flag[j] = false;
    }
  }	
  return flag;
}

R[編輯]

eratosthenes <- function(n) {
  if (n == 1) return(NULL)
  if (n == 2 | n == 3) return(2:n)
  numbers <- 2:n
  primes <- rep(TRUE, n-1)
  for (i in 2:floor(sqrt(n))) {
    if (primes[i-1]) {
      for (j in seq(i * i, n, i))
        primes[j-1] <- FALSE
    }
  }
  return(numbers[primes])
}

JavaScript[編輯]

const countPrimes = function (n) {
  const isPrime = new Array(n).fill(true);

  for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
    if (isPrime[i]) {
      for (let j = i * i; j <= n; j += i) {
        isPrime[j] = false;
      }
    }
  }

  let count = 0;
  for (let i = 2; i < n; i++) {
    if (isPrime[i]) {
      count++;
    }
  }

  return count;
};

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

^ ^1.0 ^1.1 Stefan Hougardy; Jens Vygen. Algorithmic Mathematics. Cham: Springer International Publishing Switzerland. 2016. ISBN 978-3-319-39558-6.
^ Jean-Luc Chabert. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1999. ISBN 978-3-642-18192-4.
^ George M. Phillips. Mathematics Is Not a Spectator Sport. New York: Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-28697-6.
^ G. H. Hardy; E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers (Fourth Edition). Oxford: Clarendon Press. 1960. ISBN 978-0-19-853310-8.
^ ^5.0 ^5.1 Melissa E. O'Neill. The Genuine Sieve of Eratosthenes (PDF). Journal of Functional Programming. 2009, 19 (1): 95–106. doi:10.1017/S0956796808007004.

拓展閱讀[編輯]

Interactive animation (需要JavaScript) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
列印質數的各種算法（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
篩法小結 (Eratosthenes/Euler)
歐拉函數線性篩法詳解（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（歐拉函數線性篩）
一般篩法求質數+快速線性篩法求質數(較好理解) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[am-1] 1.0 ^1.1 Stefan Hougardy; Jens Vygen. Algorithmic Mathematics. Cham: Springer International Publishing Switzerland. 2016. ISBN 978-3-319-39558-6.

[2] Jean-Luc Chabert. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1999. ISBN 978-3-642-18192-4.

[3] George M. Phillips. Mathematics Is Not a Spectator Sport. New York: Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-28697-6.

[4] G. H. Hardy; E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers (Fourth Edition). Oxford: Clarendon Press. 1960. ISBN 978-0-19-853310-8.

[tgse-5] 5.0 ^5.1 Melissa E. O'Neill. The Genuine Sieve of Eratosthenes (PDF). Journal of Functional Programming. 2009, 19 (1): 95–106. doi:10.1017/S0956796808007004.

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