舒尔不等式说明,对于所有的非负实数x、y、z和实数t,都有:
![{\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb05031b3c81fe951be7c1ab07bf093b357ccc62)
当且仅当x = y = z,或其中两个数相等而另外一个为零时,等号“=”成立。当t是正的偶数时,不等式对所有的实数x、y和z都成立。
由于不等式是对称的,不失一般性,我们不妨设
。对t分类讨论:
时,
![{\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad0f85acbc013554af69dd0657681cb82e32623)
显然成立,这是因为左边的每一项都是非负的。同理,
时,
![{\displaystyle (y-z)[z^{t}(x-z)-y^{t}(x-y)]+x^{t}(x-y)(x-z)\geq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ad1b5386d072c8195539a5447246cb5de4ad35)
证毕。
舒尔不等式有一个推广:
假设a、b、c是正的实数。如果(a,b,c)和(x,y,z)是同序的,则以下的不等式成立:
![{\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3829cbc30f8679aba90dbfa577bcd05c536eb1d)
2007年,罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式:
考虑
,其中
,而且
或
。设
,并设
或者是凸函数,或者是单调函数。那么:
![{\displaystyle {f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c02bbf51ad58eea07f4c8b07cabc781ba76667b)
当x = a、y = b、z = c、k = 1、f(m) = mt时,即化为舒尔不等式。[1]
参考文献[编辑]
- ^ Vornicu, Valentin; Olimpiada de Matematica... de la provocare la experienta; GIL Publishing House; Zalau, Romania.