舒爾不等式說明,對於所有的非負實數x、y、z和實數t,都有:
![{\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb05031b3c81fe951be7c1ab07bf093b357ccc62)
若且唯若x = y = z,或其中兩個數相等而另外一個為零時,等號「=」成立。當t是正的偶數時,不等式對所有的實數x、y和z都成立。
由於不等式是對稱的,不失一般性,我們不妨設
。對t分類討論:
時,
![{\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad0f85acbc013554af69dd0657681cb82e32623)
顯然成立,這是因為左邊的每一項都是非負的。同理,
時,
![{\displaystyle (y-z)[z^{t}(x-z)-y^{t}(x-y)]+x^{t}(x-y)(x-z)\geq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ad1b5386d072c8195539a5447246cb5de4ad35)
證畢。
舒爾不等式有一個推廣:
假設a、b、c是正的實數。如果(a,b,c)和(x,y,z)是同序的,則以下的不等式成立:
![{\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3829cbc30f8679aba90dbfa577bcd05c536eb1d)
2007年,羅馬尼亞數學家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式:
考慮
,其中
,而且
或
。設
,並設
或者是凸函數,或者是單調函數。那麼:
![{\displaystyle {f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c02bbf51ad58eea07f4c8b07cabc781ba76667b)
當x = a、y = b、z = c、k = 1、f(m) = mt時,即化為舒爾不等式。[1]
參考文獻[編輯]
- ^ Vornicu, Valentin; Olimpiada de Matematica... de la provocare la experienta; GIL Publishing House; Zalau, Romania.