自由能微擾 (英語:Free Energy Perturbation, 縮寫:FEP)是用來計算自由能的一種常用方法。最早由R. W. Zwanzig在1954年提出[1]。以正則系綜為例,從狀態A到狀態B的自由能變化可以由下式算出:
![{\displaystyle \Delta F(A\rightarrow B)=F_{B}-F_{A}=-k_{B}T\ln \left\langle \exp \left(-{\frac {H_{B}-H_{A}}{k_{B}T}}\right)\right\rangle _{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a07b77b2d5e717a75495eab679f8c93a2f0906b)
其中T為溫度,
和
分別為狀態A和狀態B的哈密頓量,
為玻爾茲曼常數,
表示在狀態A的系綜中取系綜平均。簡單而言,為了計算狀態A與狀態B之間的自由能差,只需通過在狀態A的系綜中對兩狀態之間的能量差採樣,然後求平均即可。採樣可以使用分子動力學或者蒙特卡洛方法模擬。
以正則系綜為例,已知狀態A的配分函數為
![{\displaystyle Q_{A}=\int d{\textbf {r}}^{N}{\textbf {p}}^{N}e^{-\beta H_{A}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16055bafd65c4eb1c91ae1f9ed3d0df14b7dab2)
其中
。那麼狀態B的配分函數
可以做如下改寫
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{B}&=\int d{\textbf {r}}^{N}{\textbf {p}}^{N}e^{-\beta H_{B}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})}\\&=\int d{\textbf {r}}^{N}{\textbf {p}}^{N}e^{-\beta H_{A}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})}e^{-\beta [H_{B}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})-H_{A}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})]}\\&=Q_{A}\int d{\textbf {r}}^{N}{\textbf {p}}^{N}{\frac {e^{-\beta [H_{B}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})-H_{A}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})]}}{Q_{A}}}\\&=Q_{A}\langle e^{-\beta [H_{B}-H_{A}]}\rangle _{A}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9aff7758859d807ff815bdf178b6e00ed4dd4f)
即
.
而狀態B與A之間的自由能差
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta F(A\rightarrow B)&=F_{B}-F_{A}\\&=-(k_{B}T\ln Q_{B}-k_{B}T\ln Q_{A})\\&=-k_{B}T\ln {\frac {Q_{B}}{Q_{A}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec29cbfe2cbbed945b7cd388321211b560369179)
故有
。
自由能微擾被廣泛應用於各種自由能的計算,並被集成到各種分子模擬軟件中,包括:
在使用自由能微擾進行自由能計算的時候,需要注意由於狀態A與B之間能量差太大而導致的採樣不足問題[3]。在這種情況下,需要把A到B之間劃分成多個窗口進行採樣,或者採用其他自由能計算方法,比如Bennett acceptance ratio 以及Umbrella sampling。存在對 FEP 的改編,試圖將自由能變化分配給化學結構的子部分。[4]
參考資料[編輯]
- ^ Zwanzig, R. W. J. Chem. Phys. 1954, 22, 1420-1426. doi:10.1063/1.1740409
- ^ 存档副本. [2020-01-12]. (原始內容存檔於2019-12-10).
- ^ Pohorille A, Jarzynski C, Chipot C J Phys Chem B. 2010 Aug 19;114(32):10235-53. doi: 10.1021/jp102971x.
- ^ Irwin, B. W. J., J. Chem. Theory Comput. 2018, 14, 6, 3218-3227. doi:10.1021/acs.jctc.8b00027