自由能微扰 (英语:Free Energy Perturbation, 缩写:FEP)是用来计算自由能的一种常用方法。最早由R. W. Zwanzig在1954年提出[1]。以正则系综为例,从状态A到状态B的自由能变化可以由下式算出:
![{\displaystyle \Delta F(A\rightarrow B)=F_{B}-F_{A}=-k_{B}T\ln \left\langle \exp \left(-{\frac {H_{B}-H_{A}}{k_{B}T}}\right)\right\rangle _{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a07b77b2d5e717a75495eab679f8c93a2f0906b)
其中T为温度,
和
分别为状态A和状态B的哈密顿量,
为玻尔兹曼常数,
表示在状态A的系综中取系综平均。简单而言,为了计算状态A与状态B之间的自由能差,只需通过在状态A的系综中对两状态之间的能量差采样,然后求平均即可。采样可以使用分子动力学或者蒙特卡洛方法模拟。
以正则系综为例,已知状态A的配分函数为
![{\displaystyle Q_{A}=\int d{\textbf {r}}^{N}{\textbf {p}}^{N}e^{-\beta H_{A}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16055bafd65c4eb1c91ae1f9ed3d0df14b7dab2)
其中
。那么状态B的配分函数
可以做如下改写
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{B}&=\int d{\textbf {r}}^{N}{\textbf {p}}^{N}e^{-\beta H_{B}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})}\\&=\int d{\textbf {r}}^{N}{\textbf {p}}^{N}e^{-\beta H_{A}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})}e^{-\beta [H_{B}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})-H_{A}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})]}\\&=Q_{A}\int d{\textbf {r}}^{N}{\textbf {p}}^{N}{\frac {e^{-\beta [H_{B}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})-H_{A}({\textbf {r}}^{N},{\textbf {p}}^{N})]}}{Q_{A}}}\\&=Q_{A}\langle e^{-\beta [H_{B}-H_{A}]}\rangle _{A}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9aff7758859d807ff815bdf178b6e00ed4dd4f)
即
.
而状态B与A之间的自由能差
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta F(A\rightarrow B)&=F_{B}-F_{A}\\&=-(k_{B}T\ln Q_{B}-k_{B}T\ln Q_{A})\\&=-k_{B}T\ln {\frac {Q_{B}}{Q_{A}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec29cbfe2cbbed945b7cd388321211b560369179)
故有
。
自由能微扰被广泛应用于各种自由能的计算,并被集成到各种分子模拟软件中,包括:
在使用自由能微扰进行自由能计算的时候,需要注意由于状态A与B之间能量差太大而导致的采样不足问题[3]。在这种情况下,需要把A到B之间划分成多个窗口进行采样,或者采用其他自由能计算方法,比如Bennett acceptance ratio 以及Umbrella sampling。存在对 FEP 的改编,试图将自由能变化分配给化学结构的子部分。[4]
参考资料[编辑]
- ^ Zwanzig, R. W. J. Chem. Phys. 1954, 22, 1420-1426. doi:10.1063/1.1740409
- ^ 存档副本. [2020-01-12]. (原始内容存档于2019-12-10).
- ^ Pohorille A, Jarzynski C, Chipot C J Phys Chem B. 2010 Aug 19;114(32):10235-53. doi: 10.1021/jp102971x.
- ^ Irwin, B. W. J., J. Chem. Theory Comput. 2018, 14, 6, 3218-3227. doi:10.1021/acs.jctc.8b00027