等比數列

  提示：此條目頁的主題不是幾何級數。

等比數列，是數列的一種。在等比數列中，任何相鄰兩項的比例相等，該比值稱為公比。因為數列中的任意一項都等於相鄰兩項的幾何平均數，所以又名幾何數列（英語：Geometric progression）。

例如數列：

$3,6,12,24,48,96,...$

就是一個等比數列。在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公比都等於$2$。

性質

如果一個等比數列的首項記作$a$，公比記作$r$，那麼該等比數列第$n$項$a_{n}$的一般項為：

$a_{n}=ar^{n-1}$

換句話說，任意一個等比數列$\{a_{n}\}$都可以寫成

$\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}$

在一個等比數列中，給定任意兩相連項$a_{n+1}$和$a_{n}$（其中$a_{n}\neq 0$），可知公比

$r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$

給定任意兩項$a_{m}$和$a_{n}$，則有公比

$r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}$

這裡注意，若$m-n$是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

此外，在一個等比數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，$a_{1}\times a_{3}={a_{2}}^{2}$。

更一般地說，有：

$a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}$

證明如下：

${\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}$

證畢。

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相鄰兩項的幾何平均：

$a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$

此結果從上面直接可得。

如果有整數$m,n,p,q$，使得 $m+n=p+q$，那麼則有：

$a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}$

證明如下：

${\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}$

由此可將上面的性質一般化成：

$a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}$

$a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}$

其中$k$是一個小於$n$的正整數。

給定一個等比數列 $\{a_{n}\}$，則有：

• $\{b\cdot a_{n}\}$ 是一個等比數列。
• $\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一個等比數列。
• $\{\log _{b}(a_{n})\}$ 是一個等差數列。

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

$a_{n}=pq^{n}$

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比$r=q$，首項$a=pq$。

等比數列和

一個等比數列的首$n$項之和，稱為等比數列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作$S_{n}$。

舉例來說，等比數列$\{1,2,4,8\}$的和是$1+2+4+8=15$。

等比數列求和的公式如下：

$S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

其中$a$為首項，$n$為項數，$r$為公比，且$r\neq 1$。

公式證明如下：

將等比數列和寫作以下形式：

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}$ ……(1)

將兩邊同乘以公比 r，有：

$rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}$ ……(2)

(1)式減去(2)式，有：

$(1-r)S_{n}=a-ar^{n}$

當$r\neq 1$時，整理後得證。

當$r=1$時，可以發現：

${\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}$

綜上所述，等比數列的求和公式為：

$S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}$

當$-1<r<1$時，注意到

$\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0$

因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為

$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

由此可見，當$-1<r<1$時，幾何級數會收斂到一個固定值。

等比數列積

一個等比數列的首 n 項之積，稱為等比數列積（product of geometric sequence），記作 P_n。

舉例來說，等比數列$\{1,2,4,8\}$的積是$1\times 2\times 4\times 8=64$。

等比數列求積的公式如下：

$P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}$

證明如下：

${\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}$

第二步，公比r的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為$n-1$。

參見

• 序列
• 數列
• 級數
• 幾何級數
• 幾何平均
• 等差數列
• 等諧數列
• 國際象棋盤與麥粒問題

參考文獻

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.