等比数列

  提示：此条目页的主题不是几何级数。

等比数列，是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。因为数列中的任意一项都等于相邻两项的几何平均数，所以又名几何数列（英语：Geometric progression）。

例如数列：

$3,6,12,24,48,96,...$

就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于$2$。

性质

如果一个等比数列的首项记作$a$，公比记作$r$，那么该等比数列第$n$项$a_{n}$的一般项为：

$a_{n}=ar^{n-1}$

换句话说，任意一个等比数列$\{a_{n}\}$都可以写成

$\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}$

在一个等比数列中，给定任意两相连项$a_{n+1}$和$a_{n}$（其中$a_{n}\neq 0$），可知公比

$r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$

给定任意两项$a_{m}$和$a_{n}$，则有公比

$r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}$

这里注意，若$m-n$是偶数，则公比可取此结果的正值或负值。

此外，在一个等比数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说，$a_{1}\times a_{3}={a_{2}}^{2}$。

更一般地说，有：

$a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}$

证明如下：

${\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}$

证毕。

从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其相邻两项的几何平均：

$a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$

此结果从上面直接可得。

如果有整数$m,n,p,q$，使得 $m+n=p+q$，那么则有：

$a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}$

证明如下：

${\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}$

由此可将上面的性质一般化成：

$a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}$

$a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}$

其中$k$是一个小于$n$的正整数。

给定一个等比数列 $\{a_{n}\}$，则有：

• $\{b\cdot a_{n}\}$ 是一个等比数列。
• $\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一个等比数列。
• $\{\log _{b}(a_{n})\}$ 是一个等差数列。

从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成

$a_{n}=pq^{n}$

形式的数列，都是一个等比数列，其中公比$r=q$，首项$a=pq$。

等比数列和

一个等比数列的首$n$项之和，称为等比数列和（sum of geometric sequence）或几何级数（geometric series），记作$S_{n}$。

举例来说，等比数列$\{1,2,4,8\}$的和是$1+2+4+8=15$。

等比数列求和的公式如下：

$S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

其中$a$为首项，$n$为项数，$r$为公比，且$r\neq 1$。

公式证明如下：

将等比数列和写作以下形式：

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}$ ……(1)

将两边同乘以公比 r，有：

$rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}$ ……(2)

(1)式减去(2)式，有：

$(1-r)S_{n}=a-ar^{n}$

当$r\neq 1$时，整理后得证。

当$r=1$时，可以发现：

${\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}$

综上所述，等比数列的求和公式为：

$S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}$

当$-1<r<1$时，注意到

$\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0$

因此，我们可得无限项之和（sum to infinity）的公式为

$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

由此可见，当$-1<r<1$时，几何级数会收敛到一个固定值。

等比数列积

一个等比数列的首 n 项之积，称为等比数列积（product of geometric sequence），记作 P_n。

举例来说，等比数列$\{1,2,4,8\}$的积是$1\times 2\times 4\times 8=64$。

等比数列求积的公式如下：

$P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}$

证明如下：

${\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}$

第二步，公比r的指数中，0来自于数列的第一项。最后一步，使用了等差数列的求和公式，通项为$n-1$。

参见

• 序列
• 数列
• 级数
• 几何级数
• 几何平均
• 等差数列
• 等谐数列
• 国际象棋盘与麦粒问题

参考文献

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.